10. 已知 $ AB // CD $，$ M $、$ N $ 分别是 $ AB $、$ CD $ 上两点，点 $ G $ 在 $ AB $、$ CD $ 之间，连接 $ MG $、$ NG $. $ E $ 是 $ AB $上方一点，连接 $ EM $、$ EN $，若 $ GM $ 的延长线 $ MF $ 平分 $ ∠ AME $，$ NE $ 平分 $ ∠ CNG $，$ 2∠ MEN + ∠ MGN = 105° $，则 $ ∠ AME $ 的度数为 .

10.50°　解析:如图,过点G作GK//AB,设AB与EN交于点T.
∵MF平分∠AME,NE平分∠CNG,设∠AMF = ∠EMF = α,∠CNE = ∠GNE = β,则∠AME = 2α,∠CNG = 2β,∠BMG = ∠AMF = α,
∴∠DNG = 180° - ∠CNG = 180° - 2β.
∵GK//AB,AB//CD,
∴AB//GK//CD,
∴∠MGK = ∠BMG = α,∠NGK = ∠DNG = 180° - 2β,∠ATE = ∠CNE = β,
∴∠MGN = ∠MGK + ∠NGK = α + 180° - 2β,
∴∠ETM = 180° - ∠ATE = 180° - β.
∵∠ETM + ∠AME + ∠MEN = 180°,
∴180° - β + 2α + ∠MEN = 180°,
∴∠MEN = β - 2α.
∵2∠MEN + ∠MGN = 105°,
∴2(β - 2α) + α + 180° - 2β = 105°,解得α = 25°,
∴∠AME = 2α = 50°.

三、解答题
11. （1）从“数”的角度证明：当 $ a ＞ b ＞ 0 $ 时，$ a^2 + b^2 ＞ 2ab $.
（2）从“形”的角度证明：当 $ a ＞ b ＞ 0 $ 时，$ a^2 + b^2 ＞ 2ab $.

11.(1)
∵a ＞ b ＞ 0,
∴a - b ＞ 0,
∴(a - b)² ＞ 0,即a² - 2ab + b² ＞ 0,
∴a² + b² ＞ 2ab.　(2)构造如图所示的图形.证明:
∵S长方形ABCD = a(a - b) = a² - ab,S长方形EFCD = b(a - b) = ab - b²,由图形可得S长方形ABCD ＞ S长方形EFCD,
∴a² - ab ＞ ab - b²,
∴a² + b² ＞ 2ab.

12. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，$ OC $ 平分 $ ∠ AOF $，$ OD $ 平分 $ ∠ BOF $，$ F $ 是 $ DE $ 上一点，连接 $ OF $.
（1）求证：$ OC ⊥ OD $.
（2）若 $ ∠ D $ 与 $ ∠ 1 $ 互余，求证：$ ED // AB $.

12.证明:(1)
∵OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,
∴∠COF = $\frac{1}{2}$∠AOF,∠DOF = $\frac{1}{2}$∠BOF,
∴∠COD = ∠COF + ∠DOF = $\frac{1}{2}$(∠AOF + ∠BOF) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°,
∴OC⊥OD.
(2)
∵∠COD = 90°,
∴∠1 + ∠BOD = 90°.又
∵∠D与∠1互余,即∠1 + ∠D = 90°,
∴∠D = ∠BOD,
∴ED//AB.