登录
8. 根据图示提供的信息完成下列问题：
（1）书店在小军家
（2）学校在小军家正北方向800 m处，记作＋800 m，则少年宫在小军家正南方向
（3）花店在小军家南偏东$30°$方向400 m处，请在图中标示出来。
（1）书店在小军家
南偏西 60°
方向800
m处；（2）学校在小军家正北方向800 m处，记作＋800 m，则少年宫在小军家正南方向
1 200
m处，记作－1 200
m；（3）花店在小军家南偏东$30°$方向400 m处，请在图中标示出来。
答案
8.解:(1)南偏西 60° 800 (2)1 200 -1 200 (3)如图,点 M 即为花店所在的位置。
解析
【分析】
解题前先明确图中的方向规则为“上北下南，左西右东”，线段比例尺表示图上1单位长度对应实际距离400m。解题思路如下：1. 解决第(1)问：先判断书店相对小军家的方向，再数图上距离的单位段数，乘单段实际距离得到实际距离；2. 解决第(2)问：先根据学校的已知信息验证比例尺，再数少年宫到小军家的单位段数计算实际距离，结合“正北为正”的规则，相反方向正南用负数表示；3. 解决第(3)问：先确定南偏东30°的方向，再按400m对应的1段图上长度标注位置即可。
【解析】
（1）根据方向规则，西偏南30°等价于南偏西$90°-30°=60°$；观察图上书店到小军家的距离是2个单位长度，已知1单位长度对应实际400m，所以实际距离为$2×400=800\mathrm{m}$。
（2）学校在正北800m对应图上2个单位长度，再次确认1单位长度对应400m。少年宫到小军家的图上距离是3个单位长度，实际距离为$3×400=1200\mathrm{m}$；因为正北方向记为正，相反的正南方向记为负，所以记作$-1200\mathrm{m}$。
（3）先以小军家为顶点，从正南方向向东偏转30°画出射线，再在射线上截取1个单位长度（对应400m）的线段，端点标注为M，即为花店位置。
【答案】
(1) 南偏西$60°$，800
(2) 1200，-1200
(3) 如图,点 M 即为花店所在的位置。
【知识点】
位置与方向，比例尺应用，正负数的意义
【点评】
本题结合生活场景考查确定位置的相关技能，需要准确判断方向、正确使用比例尺计算距离，同时掌握用正负数表示相反意义的量的方法，属于基础类题目，解题时注意方向描述的规范即可。
【难度系数】
0.8
解题前先明确图中的方向规则为“上北下南，左西右东”，线段比例尺表示图上1单位长度对应实际距离400m。解题思路如下：1. 解决第(1)问：先判断书店相对小军家的方向，再数图上距离的单位段数，乘单段实际距离得到实际距离；2. 解决第(2)问：先根据学校的已知信息验证比例尺，再数少年宫到小军家的单位段数计算实际距离，结合“正北为正”的规则，相反方向正南用负数表示；3. 解决第(3)问：先确定南偏东30°的方向，再按400m对应的1段图上长度标注位置即可。
【解析】
（1）根据方向规则，西偏南30°等价于南偏西$90°-30°=60°$；观察图上书店到小军家的距离是2个单位长度，已知1单位长度对应实际400m，所以实际距离为$2×400=800\mathrm{m}$。
（2）学校在正北800m对应图上2个单位长度，再次确认1单位长度对应400m。少年宫到小军家的图上距离是3个单位长度，实际距离为$3×400=1200\mathrm{m}$；因为正北方向记为正，相反的正南方向记为负，所以记作$-1200\mathrm{m}$。
（3）先以小军家为顶点，从正南方向向东偏转30°画出射线，再在射线上截取1个单位长度（对应400m）的线段，端点标注为M，即为花店位置。
【答案】
(1) 南偏西$60°$，800
(2) 1200，-1200
(3) 如图,点 M 即为花店所在的位置。
【知识点】
位置与方向，比例尺应用，正负数的意义
【点评】
本题结合生活场景考查确定位置的相关技能，需要准确判断方向、正确使用比例尺计算距离，同时掌握用正负数表示相反意义的量的方法，属于基础类题目，解题时注意方向描述的规范即可。
【难度系数】
0.8
9. 生态园位于县城东北方向5 km处，图中标示准确的是（
B
）。答案
9.B
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心条件：①东北方向的定义：方位中东北方向是东偏北（或北偏东）45°方向，是正东和正北方向的角平分线；②生态园到县城的直线距离为5km。第一步先根据角度排除不符合东北方向的选项，第二步再根据直线距离筛选剩余选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据方位规则“上北下南，左西右东”：
1. 东北方向为东偏北45°方向，选项A中东偏北30°不符合角度要求，排除A；
2. 生态园与县城的直线距离为5km：
选项C中，标注的5km是水平、竖直方向的直角边长度，县城到生态园的直线距离为$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\mathrm{ km}$，不符合要求，排除C；
选项D同理，标注的5km是水平、竖直方向的直角边长度，直线距离为$5\sqrt{2}\mathrm{ km}$，不符合要求，排除D；
3. 选项B中，生态园位于县城东偏北45°（东北）方向，且两点连线的直线距离为5km，完全符合题意。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，位置确定，距离计算
【点评】
本题考查结合方位角和距离确定位置的应用，解题时要注意区分方向角的度数要求，同时明确题目给出的距离是两点间的直线距离，不要和坐标方向的分段距离混淆。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心条件：①东北方向的定义：方位中东北方向是东偏北（或北偏东）45°方向，是正东和正北方向的角平分线；②生态园到县城的直线距离为5km。第一步先根据角度排除不符合东北方向的选项，第二步再根据直线距离筛选剩余选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据方位规则“上北下南，左西右东”：
1. 东北方向为东偏北45°方向，选项A中东偏北30°不符合角度要求，排除A；
2. 生态园与县城的直线距离为5km：
选项C中，标注的5km是水平、竖直方向的直角边长度，县城到生态园的直线距离为$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\mathrm{ km}$，不符合要求，排除C；
选项D同理，标注的5km是水平、竖直方向的直角边长度，直线距离为$5\sqrt{2}\mathrm{ km}$，不符合要求，排除D；
3. 选项B中，生态园位于县城东偏北45°（东北）方向，且两点连线的直线距离为5km，完全符合题意。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，位置确定，距离计算
【点评】
本题考查结合方位角和距离确定位置的应用，解题时要注意区分方向角的度数要求，同时明确题目给出的距离是两点间的直线距离，不要和坐标方向的分段距离混淆。
【难度系数】
0.7
10. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m处，玩具店位于书店东边100 m处，小明从书店沿街向东走了30 m，接着又向东走了－50 m，此时小明的位置在(
A.文具店
B.玩具店
C.文具店西30 m处
D.玩具店西50 m处
A
)。A.文具店
B.玩具店
C.文具店西30 m处
D.玩具店西50 m处
答案
10.A
解析
【分析】
要确定小明的最终位置，我们可以通过建立数轴模型简化问题：首先选书店作为基准点（原点），规定向东为正方向，向西为负方向，将各个店铺的位置用有理数表示，再计算小明两次行走后的位置对应的有理数，最后和各店铺的位置对比即可得出答案。
【解析】
解：以书店为原点，向东为正方向，1m为1个单位长度建立数轴，可得：
文具店的位置对应的数为-20m，玩具店的位置对应的数为+100m。
小明从书店（原点）出发，第一次向东走30m，位置为+30m；
“向东走-50m”表示实际向西走50m，因此第二次行走后小明的位置为：
$30 + (-50) = -20$（m）
-20m对应的位置就是文具店，因此小明最终在文具店。
【答案】
A
【知识点】
正负数的实际应用；数轴的应用；位置的确定
【点评】
本题结合生活场景考查相反意义的量的表示和位置确定的方法，解题的关键是选对基准点，正确理解正负数在本题中的实际含义，将实际位置问题转化为有理数的计算问题。
【难度系数】
0.8
要确定小明的最终位置，我们可以通过建立数轴模型简化问题：首先选书店作为基准点（原点），规定向东为正方向，向西为负方向，将各个店铺的位置用有理数表示，再计算小明两次行走后的位置对应的有理数，最后和各店铺的位置对比即可得出答案。
【解析】
解：以书店为原点，向东为正方向，1m为1个单位长度建立数轴，可得：
文具店的位置对应的数为-20m，玩具店的位置对应的数为+100m。
小明从书店（原点）出发，第一次向东走30m，位置为+30m；
“向东走-50m”表示实际向西走50m，因此第二次行走后小明的位置为：
$30 + (-50) = -20$（m）
-20m对应的位置就是文具店，因此小明最终在文具店。
【答案】
A
【知识点】
正负数的实际应用；数轴的应用；位置的确定
【点评】
本题结合生活场景考查相反意义的量的表示和位置确定的方法，解题的关键是选对基准点，正确理解正负数在本题中的实际含义，将实际位置问题转化为有理数的计算问题。
【难度系数】
0.8
11. 学校位于小亮家北偏东$35°$方向，距离300 m处，学校位于大刚家南偏东$85°$方向，距离300 m处，则大刚家相对于小亮家的位置是
北偏西 25°方向,距离为 300 m
。答案
11.北偏西 25°方向,距离为 300 m
解析
【分析】
遇到这类方位与位置确定的问题，可按以下思路解题：第一步，先设定小亮家、学校、大刚家分别为三个点，画出方位坐标图，标注好正北、正东基准方向；第二步，根据题干给出的方位和距离信息，梳理三个点之间的边长和角度关系：小亮家到学校、大刚家到学校的距离均为300m，先推导学校处两个方位的夹角；第三步，发现三角形两边相等且夹角为60°，可判定为等边三角形，得到三边相等的结论；最后计算大刚家相对于小亮家的方位角，即可得出最终位置。
【解析】
设小亮家为点A，学校为点B，大刚家为点C，过A作正北方向基准线AN：
1. 由题意得：$AB=BC=300\mathrm{m}$，学校在小亮家北偏东$35°$，即$∠ NAB=35°$；学校在大刚家南偏东$85°$，因此大刚家在学校北偏西$85°$，且小亮家在学校南偏西$35°$。
2. 计算$∠ ABC$的度数：南北方向为平角$180°$，因此$∠ ABC=180°-35°-85°=60°$。
3. 判定三角形类型：因为$AB=BC=300\mathrm{m}$，且夹角$∠ ABC=60°$，所以$△ ABC$是等边三角形，因此$AC=AB=300\mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
4. 计算所求方位角：$∠ NAC=∠ BAC-∠ NAB=60°-35°=25°$，即大刚家在小亮家北偏西$25°$方向。
【答案】
北偏西$25°$方向，距离为$300\mathrm{m}$
【知识点】
方位角的识别；等边三角形的判定与性质；位置的确定
【点评】
本题将方位角和三角形知识结合考查位置确定，解题的核心是正确画出方位示意图，理清各点间的方向、角度和距离关系，结合等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
遇到这类方位与位置确定的问题，可按以下思路解题：第一步，先设定小亮家、学校、大刚家分别为三个点，画出方位坐标图，标注好正北、正东基准方向；第二步，根据题干给出的方位和距离信息，梳理三个点之间的边长和角度关系：小亮家到学校、大刚家到学校的距离均为300m，先推导学校处两个方位的夹角；第三步，发现三角形两边相等且夹角为60°，可判定为等边三角形，得到三边相等的结论；最后计算大刚家相对于小亮家的方位角，即可得出最终位置。
【解析】
设小亮家为点A，学校为点B，大刚家为点C，过A作正北方向基准线AN：
1. 由题意得：$AB=BC=300\mathrm{m}$，学校在小亮家北偏东$35°$，即$∠ NAB=35°$；学校在大刚家南偏东$85°$，因此大刚家在学校北偏西$85°$，且小亮家在学校南偏西$35°$。
2. 计算$∠ ABC$的度数：南北方向为平角$180°$，因此$∠ ABC=180°-35°-85°=60°$。
3. 判定三角形类型：因为$AB=BC=300\mathrm{m}$，且夹角$∠ ABC=60°$，所以$△ ABC$是等边三角形，因此$AC=AB=300\mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
4. 计算所求方位角：$∠ NAC=∠ BAC-∠ NAB=60°-35°=25°$，即大刚家在小亮家北偏西$25°$方向。
【答案】
北偏西$25°$方向，距离为$300\mathrm{m}$
【知识点】
方位角的识别；等边三角形的判定与性质；位置的确定
【点评】
本题将方位角和三角形知识结合考查位置确定，解题的核心是正确画出方位示意图，理清各点间的方向、角度和距离关系，结合等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
12. 将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对$(m,n)$表示第$m$行、从左到右第$n$个数，如$(3,2)$表示实数5。
(1)求图中$(7,3)$表示的数。
(2)求实数45对应的有序实数对。
(1)求图中$(7,3)$表示的数。
(2)求实数45对应的有序实数对。
答案
12.(1)23 (2)(9,7)
解析
【分析】
解题首先需要总结数字排列的规律：1. 第$m$行有$m$个数；2. 奇数行仅排列连续奇数，偶数行仅排列连续偶数，均按从小到大排列；3. 前$k$个奇数行（第1、3、…、$2k-1$行）的奇数总个数为$k^2$，第$t$个奇数的数值为$2t-1$。
针对第(1)问：7是奇数，属于第4个奇数行，先计算前3个奇数行的奇数总个数，得到第7行第一个奇数的序号，进而算出第3个数的数值。
针对第(2)问：45是奇数，先计算它是第几个奇数，再根据奇数总个数的规律确定它所在的行数，最后推导它在该行的序号即可。
【解析】
(1) 先总结排列规律：
① 第$m$行有$m$个数；
② 奇数行的数为连续奇数，偶数行的数为连续偶数，均从小到大排列；
③ 前$k$个奇数行（第1、3、5…$2k-1$行）共有奇数：$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$个。
要求$(7,3)$对应的数：7是奇数，属于第4个奇数行，前3个奇数行共有$3^2=9$个奇数，因此第7行第1个数是第10个奇数，数值为$2×10-1=19$。
第7行第$n$个数为$19+2(n-1)$，代入$n=3$得：$19+2×(3-1)=23$。
(2) 45是奇数，因此位于奇数行。设45是第$t$个奇数，由$2t-1=45$，解得$t=23$，即45是第23个奇数。
由前$k$个奇数行总奇数个数为$k^2$，因为$4^2=16＜23\le5^2=25$，可知45在第5个奇数行，对应的行数为$2×5-1=9$。
前4个奇数行共有16个奇数，因此45在第9行的序号为$23-16=7$，即对应有序实数对为$(9,7)$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{(9,7)}$
【知识点】
数字规律探究，确定位置，等差数列求和
【点评】
本题核心是观察总结数字排列的奇偶行特征和总数规律，需要学生具备一定的归纳推理能力，找到规律后代入计算即可，难度中等，易错点是混淆奇数行对应的序号关系。
【难度系数】
0.65
解题首先需要总结数字排列的规律：1. 第$m$行有$m$个数；2. 奇数行仅排列连续奇数，偶数行仅排列连续偶数，均按从小到大排列；3. 前$k$个奇数行（第1、3、…、$2k-1$行）的奇数总个数为$k^2$，第$t$个奇数的数值为$2t-1$。
针对第(1)问：7是奇数，属于第4个奇数行，先计算前3个奇数行的奇数总个数，得到第7行第一个奇数的序号，进而算出第3个数的数值。
针对第(2)问：45是奇数，先计算它是第几个奇数，再根据奇数总个数的规律确定它所在的行数，最后推导它在该行的序号即可。
【解析】
(1) 先总结排列规律：
① 第$m$行有$m$个数；
② 奇数行的数为连续奇数，偶数行的数为连续偶数，均从小到大排列；
③ 前$k$个奇数行（第1、3、5…$2k-1$行）共有奇数：$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$个。
要求$(7,3)$对应的数：7是奇数，属于第4个奇数行，前3个奇数行共有$3^2=9$个奇数，因此第7行第1个数是第10个奇数，数值为$2×10-1=19$。
第7行第$n$个数为$19+2(n-1)$，代入$n=3$得：$19+2×(3-1)=23$。
(2) 45是奇数，因此位于奇数行。设45是第$t$个奇数，由$2t-1=45$，解得$t=23$，即45是第23个奇数。
由前$k$个奇数行总奇数个数为$k^2$，因为$4^2=16＜23\le5^2=25$，可知45在第5个奇数行，对应的行数为$2×5-1=9$。
前4个奇数行共有16个奇数，因此45在第9行的序号为$23-16=7$，即对应有序实数对为$(9,7)$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{(9,7)}$
【知识点】
数字规律探究，确定位置，等差数列求和
【点评】
本题核心是观察总结数字排列的奇偶行特征和总数规律，需要学生具备一定的归纳推理能力，找到规律后代入计算即可，难度中等，易错点是混淆奇数行对应的序号关系。
【难度系数】
0.65
