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8. 下列命题中,可作为证明的出发点和依据的是
①能被3整除的数一定能被6整除；
②对顶角相等；
③三角形的任意两边之和大于第三边；
④等角的余角相等；
⑤三边对应相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角的和是 $90°$,那么称这两个角互为余角。
②③④⑤⑥
（填序号）。①能被3整除的数一定能被6整除；
②对顶角相等；
③三角形的任意两边之和大于第三边；
④等角的余角相等；
⑤三边对应相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角的和是 $90°$,那么称这两个角互为余角。
答案
8.②③④⑤⑥
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：可以作为证明出发点和依据的，必须是已经被证实的真命题，包括数学中的定义、基本事实（公理）、经过证明的定理三类。解题时只需逐个判断每个命题是否符合上述要求：第一步先判断命题真假，假命题直接排除；第二步确认真命题是否属于定义、公理、定理范畴，符合要求的就可以作为证明依据。
【解析】
我们逐个分析各命题：
①“能被3整除的数一定能被6整除”是假命题，举反例：9能被3整除，但9不能被6整除，因此不能作为证明依据；
②“对顶角相等”是已经证明的定理，属于真命题，可以作为证明依据；
③“三角形的任意两边之和大于第三边”是公认的基本事实（公理），属于真命题，可以作为证明依据；
④“等角的余角相等”是已经证明的定理，属于真命题，可以作为证明依据；
⑤“三边对应相等的两个三角形全等”是三角形全等判定的基本事实（SSS公理），属于真命题，可以作为证明依据；
⑥“如果两个角的和是$90°$，那么称这两个角互为余角”是余角的定义，定义属于公认的真命题，可以作为证明依据。
综上，可作为证明出发点和依据的是②③④⑤⑥。
【答案】
②③④⑤⑥
【知识点】
1. 证明的依据
2. 真假命题判断
3. 定义与定理
【点评】
本题考查对证明依据的认知，解题关键是明确只有真命题（含定义、公理、定理）才能作为证明的出发点，日常学习中要熟记常见的数学定义、公理和定理，同时会用举反例的方式判断假命题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确：可以作为证明出发点和依据的，必须是已经被证实的真命题，包括数学中的定义、基本事实（公理）、经过证明的定理三类。解题时只需逐个判断每个命题是否符合上述要求：第一步先判断命题真假，假命题直接排除；第二步确认真命题是否属于定义、公理、定理范畴，符合要求的就可以作为证明依据。
【解析】
我们逐个分析各命题：
①“能被3整除的数一定能被6整除”是假命题，举反例：9能被3整除，但9不能被6整除，因此不能作为证明依据；
②“对顶角相等”是已经证明的定理，属于真命题，可以作为证明依据；
③“三角形的任意两边之和大于第三边”是公认的基本事实（公理），属于真命题，可以作为证明依据；
④“等角的余角相等”是已经证明的定理，属于真命题，可以作为证明依据；
⑤“三边对应相等的两个三角形全等”是三角形全等判定的基本事实（SSS公理），属于真命题，可以作为证明依据；
⑥“如果两个角的和是$90°$，那么称这两个角互为余角”是余角的定义，定义属于公认的真命题，可以作为证明依据。
综上，可作为证明出发点和依据的是②③④⑤⑥。
【答案】
②③④⑤⑥
【知识点】
1. 证明的依据
2. 真假命题判断
3. 定义与定理
【点评】
本题考查对证明依据的认知，解题关键是明确只有真命题（含定义、公理、定理）才能作为证明的出发点，日常学习中要熟记常见的数学定义、公理和定理，同时会用举反例的方式判断假命题。
【难度系数】
0.8
9. 如图,已知点 B,C 在线段 AD 上,AB=CD,∠A=∠D,∠E=∠F。
求证:AF=DE。
求证:AF=DE。
答案
9. 证明:因为 $AB=CD$,
所以 $AB+BC=CD+BC$,
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中,
因为$∠ A=∠ D,∠ F=∠ E,AC=BD$,
所以$△ AFC≌△ DEB$,
所以 $AF=DE$。
所以 $AB+BC=CD+BC$,
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中,
因为$∠ A=∠ D,∠ F=∠ E,AC=BD$,
所以$△ AFC≌△ DEB$,
所以 $AF=DE$。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察图形可知，AF在△AFC中，DE在△DEB中，已知∠A=∠D、∠E=∠F，还缺少一组对应边相等的条件。已知AB=CD，根据等式的性质，在等式两边同时加上公共线段BC，即可得到AC=DB，满足全等三角形AAS的判定条件，证明△AFC和△DEB全等后，根据全等三角形对应边相等，即可得出AF=DE。
【解析】
证明：因为 $AB=CD$，
所以 $AB+BC=CD+BC$，
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\∠ F=∠ E \\AC=BD\end{cases}$
所以$△ AFC≌△ DEB\ (\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得 $AF=DE$。
【答案】
证明:因为 $AB=CD$,
所以 $AB+BC=CD+BC$,
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中,
因为$∠ A=∠ D,∠ F=∠ E,AC=BD$,
所以$△ AFC≌△ DEB$,
所以 $AF=DE$。
【知识点】
1. 线段和差运算 2. 全等三角形AAS判定 3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用线段和差得到全等所需的对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察图形可知，AF在△AFC中，DE在△DEB中，已知∠A=∠D、∠E=∠F，还缺少一组对应边相等的条件。已知AB=CD，根据等式的性质，在等式两边同时加上公共线段BC，即可得到AC=DB，满足全等三角形AAS的判定条件，证明△AFC和△DEB全等后，根据全等三角形对应边相等，即可得出AF=DE。
【解析】
证明：因为 $AB=CD$，
所以 $AB+BC=CD+BC$，
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\∠ F=∠ E \\AC=BD\end{cases}$
所以$△ AFC≌△ DEB\ (\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得 $AF=DE$。
【答案】
证明:因为 $AB=CD$,
所以 $AB+BC=CD+BC$,
即 $AC=DB$。
在$△ AFC$ 和$△ DEB$ 中,
因为$∠ A=∠ D,∠ F=∠ E,AC=BD$,
所以$△ AFC≌△ DEB$,
所以 $AF=DE$。
【知识点】
1. 线段和差运算 2. 全等三角形AAS判定 3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用线段和差得到全等所需的对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
10.如图,点 D 是△ABC 外一点,连接 BD,AD,AD 与 BC 交于点 O。给出下列三个等式:① $BC = AD$;② $∠ABC = ∠BAD$;③ $AC=BD$。请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明。
已知：
求证：
已知：
①
，②
。求证：
③
。答案
10. ① ② ③
证明:因为 $BC=AD,∠ ABC=∠ BAD,AB=BA$,
所以$△ ABC≌△ BAD$,
所以 $AC=BD$。
(答案不唯一)
证明:因为 $BC=AD,∠ ABC=∠ BAD,AB=BA$,
所以$△ ABC≌△ BAD$,
所以 $AC=BD$。
(答案不唯一)
解析
【分析】
这是一道全等三角形相关的开放性命题题，解题思路如下：首先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB，我们需要从三个等式中选两个作为条件，结合公共边，利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，再由全等三角形的性质推导出剩下的等式。需注意SSA不能判定三角形全等，因此可选的有效条件组合为①②或②③，我们以选①②为条件、③为结论为例进行解答。
【解析】
已知：①，②
求证：③
证明：在△ABC和△BAD中，
$\{\begin{array}{l}BC=AD(已知)\\∠ABC=∠BAD(已知)\\AB=BA(公共边相等)\end{array} $
∴$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$
∴$AC=BD$（全等三角形的对应边相等）
（也可选择②③为已知、①为求证，证明方法同理，答案不唯一）
【答案】
已知：①，②；求证：③；证明过程如上。（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性证明题，核心考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时要充分利用图形中的公共边这一隐含条件，同时注意避开SSA等不能判定三角形全等的错误条件组合，即可快速完成证明。
【难度系数】
0.7
这是一道全等三角形相关的开放性命题题，解题思路如下：首先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB，我们需要从三个等式中选两个作为条件，结合公共边，利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，再由全等三角形的性质推导出剩下的等式。需注意SSA不能判定三角形全等，因此可选的有效条件组合为①②或②③，我们以选①②为条件、③为结论为例进行解答。
【解析】
已知：①，②
求证：③
证明：在△ABC和△BAD中，
$\{\begin{array}{l}BC=AD(已知)\\∠ABC=∠BAD(已知)\\AB=BA(公共边相等)\end{array} $
∴$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$
∴$AC=BD$（全等三角形的对应边相等）
（也可选择②③为已知、①为求证，证明方法同理，答案不唯一）
【答案】
已知：①，②；求证：③；证明过程如上。（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性证明题，核心考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时要充分利用图形中的公共边这一隐含条件，同时注意避开SSA等不能判定三角形全等的错误条件组合，即可快速完成证明。
【难度系数】
0.7
