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5. 某校选拔五名运动员参加市阳光体育运动会，这五名队员的年龄(单位:岁)分别是17,15,17,16,15，其方差是0.8，则三年后这五名队员年龄的方差(
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
C
)。A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路：首先明确三年后每名队员的年龄都会增加3岁，也就是原数据中的每一个数都加上同一个常数3。方差的本质是衡量一组数据波动大小的统计量，若一组数据中每个数据都加上或减去同一个常数，数据之间的相对差值不会发生变化，因此数据的波动程度也不变，可初步判断方差不变，也可代入方差公式推导验证结论。
【解析】
设原来五名队员的年龄分别为$x_1=17$，$x_2=15$，$x_3=17$，$x_4=16$，$x_5=15$，原平均年龄为$\overline{x}$，原方差$s^2=0.8$。
三年后每名队员年龄增加3岁，新年龄为$x_1+3$、$x_2+3$、$x_3+3$、$x_4+3$、$x_5+3$。
新的平均年龄$\overline{x}'=\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)+(x_4+3)+(x_5+3)}{5}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}+\frac{15}{5}=\overline{x}+3$。
根据方差公式，新方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(x_1+3-\overline{x}')^2+(x_2+3-\overline{x}')^2+\dots+(x_5+3-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1+3-(\overline{x}+3))^2+(x_2+3-(\overline{x}+3))^2+\dots+(x_5+3-(\overline{x}+3))^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]\\&=s^2=0.8\end{aligned}$
因此三年后年龄的方差不变，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义；方差的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是理解方差反映的是数据的波动程度，当一组数据的每个数都同步加减同一个常数时，数据的波动情况没有改变，因此方差不变，掌握该性质可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确三年后每名队员的年龄都会增加3岁，也就是原数据中的每一个数都加上同一个常数3。方差的本质是衡量一组数据波动大小的统计量，若一组数据中每个数据都加上或减去同一个常数，数据之间的相对差值不会发生变化，因此数据的波动程度也不变，可初步判断方差不变，也可代入方差公式推导验证结论。
【解析】
设原来五名队员的年龄分别为$x_1=17$，$x_2=15$，$x_3=17$，$x_4=16$，$x_5=15$，原平均年龄为$\overline{x}$，原方差$s^2=0.8$。
三年后每名队员年龄增加3岁，新年龄为$x_1+3$、$x_2+3$、$x_3+3$、$x_4+3$、$x_5+3$。
新的平均年龄$\overline{x}'=\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)+(x_4+3)+(x_5+3)}{5}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}+\frac{15}{5}=\overline{x}+3$。
根据方差公式，新方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{5}[(x_1+3-\overline{x}')^2+(x_2+3-\overline{x}')^2+\dots+(x_5+3-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1+3-(\overline{x}+3))^2+(x_2+3-(\overline{x}+3))^2+\dots+(x_5+3-(\overline{x}+3))^2]\\&=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_5-\overline{x})^2]\\&=s^2=0.8\end{aligned}$
因此三年后年龄的方差不变，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义；方差的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是理解方差反映的是数据的波动程度，当一组数据的每个数都同步加减同一个常数时，数据的波动情况没有改变，因此方差不变，掌握该性质可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6. 某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩进行分析，得到每名学生的平均成绩及其方差如下表：
根据表中数据，可以判断甲是这四名学生中平均成绩最好且发挥最稳定的学生，则$m$，$n$的值可以是（
A.$m=92,n=17$
B.$m=92,n=8.5$
C.$m=87,n=10$
D.$m=91,n=12.5$
根据表中数据，可以判断甲是这四名学生中平均成绩最好且发挥最稳定的学生，则$m$，$n$的值可以是（
B
）。A.$m=92,n=17$
B.$m=92,n=8.5$
C.$m=87,n=10$
D.$m=91,n=12.5$
答案
6.B
解析
【分析】
要判断符合条件的m、n值，首先明确两个判断依据：①平均成绩最好，说明甲的平均成绩要高于另外三人的最高平均成绩；②发挥最稳定，说明甲的方差要小于另外三人的最小方差。先求出另外三人的最高平均成绩和最小方差，再以此为标准对照选项筛选即可。
【解析】
首先看平均成绩要求：已知乙、丙、丁的平均成绩分别为90分、91分、88分，三人中最高平均成绩为91分，要甲的平均成绩最好，则$m＞91$，据此排除C选项（$m=87＜91$）和D选项（$m=91$和丙持平，不是最好）。
再看发挥稳定性要求：方差越小说明成绩越稳定，已知乙、丙、丁的方差分别为12.5、14.5、11，三人中最小方差为11，要甲发挥最稳定，则$n＜11$，据此排除A选项（$n=17＞11$）。
只有B选项$m=92＞91$，$n=8.5＜11$，满足所有条件。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，解题核心是理解平均数反映数据的整体平均水平，方差反映数据的波动程度：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，结合题干给出的限制条件逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断符合条件的m、n值，首先明确两个判断依据：①平均成绩最好，说明甲的平均成绩要高于另外三人的最高平均成绩；②发挥最稳定，说明甲的方差要小于另外三人的最小方差。先求出另外三人的最高平均成绩和最小方差，再以此为标准对照选项筛选即可。
【解析】
首先看平均成绩要求：已知乙、丙、丁的平均成绩分别为90分、91分、88分，三人中最高平均成绩为91分，要甲的平均成绩最好，则$m＞91$，据此排除C选项（$m=87＜91$）和D选项（$m=91$和丙持平，不是最好）。
再看发挥稳定性要求：方差越小说明成绩越稳定，已知乙、丙、丁的方差分别为12.5、14.5、11，三人中最小方差为11，要甲发挥最稳定，则$n＜11$，据此排除A选项（$n=17＞11$）。
只有B选项$m=92＞91$，$n=8.5＜11$，满足所有条件。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，解题核心是理解平均数反映数据的整体平均水平，方差反映数据的波动程度：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，结合题干给出的限制条件逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
7. 某工厂A组、B组月生产收益(万元)情况记录如下表：
(1)请计算这两组数据的平均数、四分位数；
(2)为了让团队的业务水平再上一台阶，选一组进行出国考察学习，从稳定性的角度考虑，你认为选派哪组人员出去学习合适呢？请从两方面说明理由。
(1)请计算这两组数据的平均数、四分位数；
(2)为了让团队的业务水平再上一台阶，选一组进行出国考察学习，从稳定性的角度考虑，你认为选派哪组人员出去学习合适呢？请从两方面说明理由。
答案
(1)A组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85$(万元),下四分位数:80万元,中位数:83万元,上四分位数:90.5万元；
B组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(81+91+82+89+88+82+84+83)=85$(万元),下四分位数:82万元,中位数:83.5万元,上四分位数:88.5万元。
(2)选派B组人员出去学习合适。理由：
①利用平均数、方差进行说明：
由(1)知A组月生产收益的平均数为85万元,B组月生产收益的平均数为85万元,
计算得$s_A^2=35.5,s_B^2=12.5$,所以$s_B^2＜s_A^2$,所以B组的月生产收益稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
②利用箱线图进行说明：
由(1)中数据画出箱线图,如图所示。
由箱线图可以发现B组的月生产收益较稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
解析
【分析】
(1) 求解两组数据的平均数、四分位数时，首先明确平均数计算方法为所有数据之和除以数据总个数；计算四分位数需先将每组数据从小到大排序，先求整组数据的中位数（第二四分位数），再取排序后前半部分数据的中位数作为下四分位数，后半部分数据的中位数作为上四分位数即可。(2) 判断稳定性可从两方面入手：一是计算方差，方差越小说明数据波动越小、越稳定；二是观察箱线图的离散程度，数据范围越窄说明越稳定，结合两组平均水平相同的特点，选择更稳定的组别即可。
【解析】
(1) ①计算A组相关统计量：
平均数：$\overline{x}_A=\frac{1}{8}×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85$（万元）
将A组数据从小到大排序：78，79，81，82，84，88，93，95
共8个数据，中位数为第4、5个数据的平均值：$\frac{82+84}{2}=83$（万元）
前4个数据的中位数为下四分位数：$\frac{79+81}{2}=80$（万元）
后4个数据的中位数为上四分位数：$\frac{88+93}{2}=90.5$（万元）
②计算B组相关统计量：
平均数：$\overline{x}_B=\frac{1}{8}×(81+91+82+89+88+82+84+83)=85$（万元）
将B组数据从小到大排序：81，82，82，83，84，88，89，91
中位数为第4、5个数据的平均值：$\frac{83+84}{2}=83.5$（万元）
下四分位数为前4个数据的中位数：$\frac{82+82}{2}=82$（万元）
上四分位数为后4个数据的中位数：$\frac{88+89}{2}=88.5$（万元）
(2) 选派B组人员合适，理由如下：
① 从方差角度：两组平均收益均为85万元，平均水平相同。计算得A组方差$s_A^2=35.5$，B组方差$s_B^2=12.5$，$s_B^2＜s_A^2$，说明B组收益波动更小，更稳定。
② 从箱线图角度：根据(1)中统计量绘制箱线图，可直观看出B组数据的离散程度更小，收益更稳定，因此选B组。
【答案】
(1)A组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85$(万元),下四分位数:80万元,中位数:83万元,上四分位数:90.5万元；
B组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(81+91+82+89+88+82+84+83)=85$(万元),下四分位数:82万元,中位数:83.5万元,上四分位数:88.5万元。
(2)选派B组人员出去学习合适。理由：
①利用平均数、方差进行说明：
由(1)知A组月生产收益的平均数为85万元,B组月生产收益的平均数为85万元,
计算得$s_A^2=35.5,s_B^2=12.5$,所以$s_B^2＜s_A^2$,所以B组的月生产收益稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
②利用箱线图进行说明：
由(1)中数据画出箱线图,如图所示。
由箱线图可以发现B组的月生产收益较稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
【知识点】
平均数计算，四分位数计算，方差的应用
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了统计中描述数据特征的常见指标的计算与应用，既要求掌握基础的统计量计算方法，也要求能结合统计量的实际意义分析解决实际决策问题，兼顾了计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两组数据的平均数、四分位数时，首先明确平均数计算方法为所有数据之和除以数据总个数；计算四分位数需先将每组数据从小到大排序，先求整组数据的中位数（第二四分位数），再取排序后前半部分数据的中位数作为下四分位数，后半部分数据的中位数作为上四分位数即可。(2) 判断稳定性可从两方面入手：一是计算方差，方差越小说明数据波动越小、越稳定；二是观察箱线图的离散程度，数据范围越窄说明越稳定，结合两组平均水平相同的特点，选择更稳定的组别即可。
【解析】
(1) ①计算A组相关统计量：
平均数：$\overline{x}_A=\frac{1}{8}×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85$（万元）
将A组数据从小到大排序：78，79，81，82，84，88，93，95
共8个数据，中位数为第4、5个数据的平均值：$\frac{82+84}{2}=83$（万元）
前4个数据的中位数为下四分位数：$\frac{79+81}{2}=80$（万元）
后4个数据的中位数为上四分位数：$\frac{88+93}{2}=90.5$（万元）
②计算B组相关统计量：
平均数：$\overline{x}_B=\frac{1}{8}×(81+91+82+89+88+82+84+83)=85$（万元）
将B组数据从小到大排序：81，82，82，83，84，88，89，91
中位数为第4、5个数据的平均值：$\frac{83+84}{2}=83.5$（万元）
下四分位数为前4个数据的中位数：$\frac{82+82}{2}=82$（万元）
上四分位数为后4个数据的中位数：$\frac{88+89}{2}=88.5$（万元）
(2) 选派B组人员合适，理由如下：
① 从方差角度：两组平均收益均为85万元，平均水平相同。计算得A组方差$s_A^2=35.5$，B组方差$s_B^2=12.5$，$s_B^2＜s_A^2$，说明B组收益波动更小，更稳定。
② 从箱线图角度：根据(1)中统计量绘制箱线图，可直观看出B组数据的离散程度更小，收益更稳定，因此选B组。
【答案】
(1)A组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85$(万元),下四分位数:80万元,中位数:83万元,上四分位数:90.5万元；
B组月生产收益的平均数：
$\frac{1}{8}×(81+91+82+89+88+82+84+83)=85$(万元),下四分位数:82万元,中位数:83.5万元,上四分位数:88.5万元。
(2)选派B组人员出去学习合适。理由：
①利用平均数、方差进行说明：
由(1)知A组月生产收益的平均数为85万元,B组月生产收益的平均数为85万元,
计算得$s_A^2=35.5,s_B^2=12.5$,所以$s_B^2＜s_A^2$,所以B组的月生产收益稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
②利用箱线图进行说明：
由(1)中数据画出箱线图,如图所示。
由箱线图可以发现B组的月生产收益较稳定,所以选派B组人员出去学习合适。
【知识点】
平均数计算，四分位数计算，方差的应用
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了统计中描述数据特征的常见指标的计算与应用，既要求掌握基础的统计量计算方法，也要求能结合统计量的实际意义分析解决实际决策问题，兼顾了计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8.某中学七、八年级各10名学生代表参加“诗词达人”竞赛活动。为了解竞赛情况，对学生成绩(单位:分)进行了如下统计分析。
收集数据:
七年级:90,95,95,80,90,80,85,90,85,100；
八年级:85,85,95,80,95,90,90,90,100,90。
整理数据:
分析数据:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值；
(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由；
(3)若竞赛成绩不低于90分为“优秀”,请估计这两个年级参赛学生成绩的优秀率。
收集数据:
七年级:90,95,95,80,90,80,85,90,85,100；
八年级:85,85,95,80,95,90,90,90,100,90。
整理数据:
分析数据:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值；
(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由；
(3)若竞赛成绩不低于90分为“优秀”,请估计这两个年级参赛学生成绩的优秀率。
答案
(1)$a=2,b=89,c=90,d=90$。
(2)从平均数来看,八年级成绩的平均数高于七年级成绩的平均数。从方差来看,七年级的成绩波动比八年级的成绩波动大,说明八年级学生的成绩稳定性好一些。总体来说,八年级的成绩比较好。
(3)两个年级参赛学生成绩的优秀率约为$\frac{6+7}{10+10}×100\% =65\%$。
(2)从平均数来看,八年级成绩的平均数高于七年级成绩的平均数。从方差来看,七年级的成绩波动比八年级的成绩波动大,说明八年级学生的成绩稳定性好一些。总体来说,八年级的成绩比较好。
(3)两个年级参赛学生成绩的优秀率约为$\frac{6+7}{10+10}×100\% =65\%$。
解析
【分析】
(1) 求a值时，对应分组统计符合区间的人数即可；求七年级平均数b，将七年级10名学生的成绩求和后除以10即可；求七年级众数c，找出七年级成绩中出现次数最多的数即可；求八年级中位数d，先将八年级成绩从小到大排序，取中间两个数的平均值即可。
(2) 比较两个年级成绩好坏，可从平均水平、稳定性两个维度分析：平均数越高说明整体平均水平越好，方差越小说明成绩越稳定，结合两个统计量的结果综合判断即可。
(3) 优秀率=优秀人数÷总人数×100%，先分别统计七、八年级成绩不低于90分的人数，求和得到总优秀人数，再除以两个年级参赛总人数即可算出优秀率。
【解析】
(1) ①统计对应分组人数得$a=2$；
②计算七年级平均数：$b=\frac{90+95+95+80+90+80+85+90+85+100}{10}=\frac{890}{10}=89$；
③七年级成绩中90出现的次数最多，故众数$c=90$；
④将八年级成绩从小到大排序为：80,85,85,90,90,90,90,95,95,100，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，即$d=\frac{90+90}{2}=90$。
(2) 八年级的成绩比较好，理由如下：
从平均数看，八年级成绩的平均数高于七年级，说明八年级的整体平均水平更高；从方差看，七年级的方差大于八年级，说明七年级成绩波动更大，八年级成绩更稳定，因此八年级成绩更好。
(3) 统计得七年级成绩不低于90分的有6人，八年级成绩不低于90分的有7人，
则优秀率为$\frac{6+7}{10+10}×100\% = 65\%$。
【答案】
(1)$a=2,b=89,c=90,d=90$；
(2)八年级的成绩比较好，理由：八年级平均成绩更高，且成绩更稳定；
(3)65%。
【知识点】
统计量的计算，方差的意义，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计相关基础知识点，需要熟练掌握平均数、众数、中位数、方差等常见统计量的计算方法，能够结合不同统计量的意义分析数据特征，解决实际统计问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求a值时，对应分组统计符合区间的人数即可；求七年级平均数b，将七年级10名学生的成绩求和后除以10即可；求七年级众数c，找出七年级成绩中出现次数最多的数即可；求八年级中位数d，先将八年级成绩从小到大排序，取中间两个数的平均值即可。
(2) 比较两个年级成绩好坏，可从平均水平、稳定性两个维度分析：平均数越高说明整体平均水平越好，方差越小说明成绩越稳定，结合两个统计量的结果综合判断即可。
(3) 优秀率=优秀人数÷总人数×100%，先分别统计七、八年级成绩不低于90分的人数，求和得到总优秀人数，再除以两个年级参赛总人数即可算出优秀率。
【解析】
(1) ①统计对应分组人数得$a=2$；
②计算七年级平均数：$b=\frac{90+95+95+80+90+80+85+90+85+100}{10}=\frac{890}{10}=89$；
③七年级成绩中90出现的次数最多，故众数$c=90$；
④将八年级成绩从小到大排序为：80,85,85,90,90,90,90,95,95,100，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，即$d=\frac{90+90}{2}=90$。
(2) 八年级的成绩比较好，理由如下：
从平均数看，八年级成绩的平均数高于七年级，说明八年级的整体平均水平更高；从方差看，七年级的方差大于八年级，说明七年级成绩波动更大，八年级成绩更稳定，因此八年级成绩更好。
(3) 统计得七年级成绩不低于90分的有6人，八年级成绩不低于90分的有7人，
则优秀率为$\frac{6+7}{10+10}×100\% = 65\%$。
【答案】
(1)$a=2,b=89,c=90,d=90$；
(2)八年级的成绩比较好，理由：八年级平均成绩更高，且成绩更稳定；
(3)65%。
【知识点】
统计量的计算，方差的意义，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计相关基础知识点，需要熟练掌握平均数、众数、中位数、方差等常见统计量的计算方法，能够结合不同统计量的意义分析数据特征，解决实际统计问题。
【难度系数】
0.8
