登录
8. 如图,已知矩形$ABCD$,折叠矩形的一边$AD$,使点$D$落在$BC$边上的一点$F$处,已知折痕$AE=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,且$\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$。
(1)求证:$△ AFB ∽ △ FEC$;
(2)求矩形$ABCD$的周长。
(1)求证:$△ AFB ∽ △ FEC$;
(2)求矩形$ABCD$的周长。
答案
8.(1)证明略。(2)矩形 ABCD 的周长为 36 cm。
解析
【分析】
(1) 要证明$△ AFB ∽ △ FEC$，首先两个三角形均为直角三角形（矩形内角为直角），只需再证明一组锐角相等即可：由折叠性质得$∠ AFE=90°$，结合平角性质可推出$∠ BAF=∠ EFC$，即可用两角对应相等判定相似。
(2) 先根据$\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$设参数表示$△ EFC$的三边，结合折叠性质得到矩形的长和宽关于参数的表达式，再利用相似三角形对应边成比例求出$BF$的长度，最后在$Rt△ ADE$中用勾股定理列方程求出参数值，即可计算矩形周长。
【解析】
(1) 证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ BAF + ∠ AFB=90°$。
由折叠的性质可得：$∠ AFE=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ AFB + ∠ EFC=180°-∠ AFE=90°$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EFC$，
$\therefore △ AFB ∽ △ FEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：设$EC=3k\ \mathrm{cm}$，由$\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$，得$FC=4k\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ EFC$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k\ \mathrm{cm}$。
由折叠性质可知：$DE=EF=5k\ \mathrm{cm}$，$AD=AF$，
$\therefore CD=DE+EC=5k+3k=8k\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=CD=8k\ \mathrm{cm}$。
$\because △ AFB ∽ △ FEC$，$\therefore \frac{AB}{FC}=\frac{BF}{EC}$，即$\frac{8k}{4k}=\frac{BF}{3k}$，
解得$BF=6k\ \mathrm{cm}$，$\therefore BC=BF+FC=6k+4k=10k\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD=AF=BC=10k\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ADE$中，$AD^2+DE^2=AE^2$，已知$AE=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
代入得：$(10k)^2+(5k)^2=(5\sqrt{5})^2$，化简得$125k^2=125$，解得$k=1$（$k＞0$）。
$\therefore AB=8×1=8\ \mathrm{cm}$，$AD=10×1=10\ \mathrm{cm}$，
矩形$ABCD$的周长为$2×(8+10)=36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $36\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；折叠的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换、矩形性质和相似三角形知识结合考察，解题时通过设参数表示线段长度，结合勾股定理列方程求解是常用方法，需要熟练掌握各性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$△ AFB ∽ △ FEC$，首先两个三角形均为直角三角形（矩形内角为直角），只需再证明一组锐角相等即可：由折叠性质得$∠ AFE=90°$，结合平角性质可推出$∠ BAF=∠ EFC$，即可用两角对应相等判定相似。
(2) 先根据$\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$设参数表示$△ EFC$的三边，结合折叠性质得到矩形的长和宽关于参数的表达式，再利用相似三角形对应边成比例求出$BF$的长度，最后在$Rt△ ADE$中用勾股定理列方程求出参数值，即可计算矩形周长。
【解析】
(1) 证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ BAF + ∠ AFB=90°$。
由折叠的性质可得：$∠ AFE=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ AFB + ∠ EFC=180°-∠ AFE=90°$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EFC$，
$\therefore △ AFB ∽ △ FEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：设$EC=3k\ \mathrm{cm}$，由$\frac{EC}{FC}=\frac{3}{4}$，得$FC=4k\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ EFC$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k\ \mathrm{cm}$。
由折叠性质可知：$DE=EF=5k\ \mathrm{cm}$，$AD=AF$，
$\therefore CD=DE+EC=5k+3k=8k\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=CD=8k\ \mathrm{cm}$。
$\because △ AFB ∽ △ FEC$，$\therefore \frac{AB}{FC}=\frac{BF}{EC}$，即$\frac{8k}{4k}=\frac{BF}{3k}$，
解得$BF=6k\ \mathrm{cm}$，$\therefore BC=BF+FC=6k+4k=10k\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD=AF=BC=10k\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ADE$中，$AD^2+DE^2=AE^2$，已知$AE=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
代入得：$(10k)^2+(5k)^2=(5\sqrt{5})^2$，化简得$125k^2=125$，解得$k=1$（$k＞0$）。
$\therefore AB=8×1=8\ \mathrm{cm}$，$AD=10×1=10\ \mathrm{cm}$，
矩形$ABCD$的周长为$2×(8+10)=36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $36\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；折叠的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将折叠变换、矩形性质和相似三角形知识结合考察，解题时通过设参数表示线段长度，结合勾股定理列方程求解是常用方法，需要熟练掌握各性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$∠ ABD = ∠ BCD = 90°$，$DB$ 平分$∠ ADC$，过点 $B$ 作 $BM // CD$ 交 $AD$ 于点 $M$，连接 $CM$ 交 $DB$ 于点 $N$。
(1)求证：$BD^2 = AD · CD$；
(2)若 $CD = 6$，$AD = 8$，求 $MN$ 的长。
(1)求证：$BD^2 = AD · CD$；
(2)若 $CD = 6$，$AD = 8$，求 $MN$ 的长。
答案
9.(1)证明略。 (2)$MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$。
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$BD^2 = AD · CD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，只需证明$△ ABD$和$△ BCD$相似即可。由角平分线可得一组角相等，结合两个直角相等，即可证得两三角形相似，进一步变形比例式即可得证。
(2) 先利用第一问的结论求出$BD$的长度，再结合$BM// CD$和角平分线的性质推出$BM=MD$，结合直角三角形斜边中线的性质求出$BM$的长；再证明$∠ MBC$为直角，用勾股定理求出$CM$的长度；最后根据$BM// CD$得到相似三角形，由相似比计算出$MN$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because DB$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADB=∠ CDB$，
又$\because ∠ ABD=∠ BCD=90°$，
$\therefore △ ABD ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
交叉相乘得$BD^2=AD· CD$，结论得证。
(2) 解：
由(1)的结论，代入$CD=6$，$AD=8$得：
$BD^2=8×6=48$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2-CD^2=48-36=12$，即$BC=2\sqrt{3}$。
$\because BM// CD$，$\therefore ∠ MBD=∠ CDB$，
又$\because ∠ ADB=∠ CDB$，$\therefore ∠ MBD=∠ ADB$，
$\therefore BM=MD$，
$\because ∠ ABD=90°$，$\therefore ∠ A+∠ ADB=90°$，$∠ ABM+∠ MBD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ ABM$，$\therefore AM=BM$，
$\therefore BM=AM=MD=\frac{1}{2}AD=4$。
$\because BM// CD$，$∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ MBC+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ MBC=90°$，
在$Rt△ MBC$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
$\because BM// CD$，$\therefore △ BMN ∽ △ DCN$，
$\therefore \frac{MN}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
设$MN=2k$，$CN=3k$，则$CM=5k=2\sqrt{7}$，解得$k=\frac{2\sqrt{7}}{5}$，
$\therefore MN=2k=\frac{4\sqrt{7}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，需要灵活运用相似三角形、直角三角形的性质解题，掌握等积式和比例式的转化方法，以及利用平行线构造相似三角形是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明等积式$BD^2 = AD · CD$，可先将其转化为比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，只需证明$△ ABD$和$△ BCD$相似即可。由角平分线可得一组角相等，结合两个直角相等，即可证得两三角形相似，进一步变形比例式即可得证。
(2) 先利用第一问的结论求出$BD$的长度，再结合$BM// CD$和角平分线的性质推出$BM=MD$，结合直角三角形斜边中线的性质求出$BM$的长；再证明$∠ MBC$为直角，用勾股定理求出$CM$的长度；最后根据$BM// CD$得到相似三角形，由相似比计算出$MN$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because DB$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADB=∠ CDB$，
又$\because ∠ ABD=∠ BCD=90°$，
$\therefore △ ABD ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，
交叉相乘得$BD^2=AD· CD$，结论得证。
(2) 解：
由(1)的结论，代入$CD=6$，$AD=8$得：
$BD^2=8×6=48$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2=BD^2-CD^2=48-36=12$，即$BC=2\sqrt{3}$。
$\because BM// CD$，$\therefore ∠ MBD=∠ CDB$，
又$\because ∠ ADB=∠ CDB$，$\therefore ∠ MBD=∠ ADB$，
$\therefore BM=MD$，
$\because ∠ ABD=90°$，$\therefore ∠ A+∠ ADB=90°$，$∠ ABM+∠ MBD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ ABM$，$\therefore AM=BM$，
$\therefore BM=AM=MD=\frac{1}{2}AD=4$。
$\because BM// CD$，$∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ MBC+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ MBC=90°$，
在$Rt△ MBC$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
$\because BM// CD$，$\therefore △ BMN ∽ △ DCN$，
$\therefore \frac{MN}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
设$MN=2k$，$CN=3k$，则$CM=5k=2\sqrt{7}$，解得$k=\frac{2\sqrt{7}}{5}$，
$\therefore MN=2k=\frac{4\sqrt{7}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，需要灵活运用相似三角形、直角三角形的性质解题，掌握等积式和比例式的转化方法，以及利用平行线构造相似三角形是解题的关键。
【难度系数】
0.65
10.我们已经学习了“黄金分割”与“黄金三角形”的相关知识，知道：有一个内角为$36°$的等腰三角形称为黄金三角形，这类三角形具有$\frac{较短边的长}{较长边的长}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的性质。
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）等腰$△ ABC$的顶角$∠ A=36°$，且$AB=4$，那么底边$BC=$
（2）如图①，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=18°$，且$AB=4$，求$AC$的长；
（3）如图②，已知点$P$是线段$MN$的黄金分割点（$PM＜PN$），在$MN$的延长线上截取$ND=PN$，将线段$NM$绕点$N$顺时针旋转$108°$，得到线段$NH$，连接$HD$。请判断$△ NDH$是否是黄金三角形，并说明理由。
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）等腰$△ ABC$的顶角$∠ A=36°$，且$AB=4$，那么底边$BC=$
$2\sqrt{5}-2$
；（2）如图①，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=18°$，且$AB=4$，求$AC$的长；
（3）如图②，已知点$P$是线段$MN$的黄金分割点（$PM＜PN$），在$MN$的延长线上截取$ND=PN$，将线段$NM$绕点$N$顺时针旋转$108°$，得到线段$NH$，连接$HD$。请判断$△ NDH$是否是黄金三角形，并说明理由。
答案
10.解:(1)$2\sqrt{5}-2$
(2)
因为$∠C=90°$,即$BC⊥AD$,$CD=AC$,
则 BC 垂直平分 AD,所以 $AB=DB$,
所以$∠ABD=2∠ABC=36°$,
所以$△ABD$是顶角为$36°$的等腰三角形,即黄金三角形。
根据黄金三角形的性质可知$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
所以$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=2\sqrt{5}-2$。
所以$AC=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}-1$。
(3)$△NDH$是黄金三角形,
理由:因为点 P 是线段 MN 的黄金分割点($PM＜PN$),所以$\frac{PN}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
因为$MN=NH$,$ND=PN$,
所以$\frac{ND}{NH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
设$NH=4k$,则$ND=(2\sqrt{5}-2)k$,
因为$∠HNM=108°$,
所以$∠HND=72°$。
连接 MH,
由旋转的性质知$MN=NH$,
所以$∠NMH=\frac{1}{2}∠HND=36°$,
所以$△MNH$是黄金三角形,
所以$\frac{MN}{MH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因为$MN=NH=4k$,
所以$MH=\frac{8k}{\sqrt{5}-1}=(2\sqrt{5}+2)k$,
所以$MD=MN+ND$
$=4k+(2\sqrt{5}-2)k$
$=(2\sqrt{5}+2)k$,
所以$MH=MD$。因为$∠NMH=36°$,
所以$∠HDN=72°$,
所以$∠NHD=36°$,
所以$△NDH$是黄金三角形。
解析
【分析】
（1）首先判断顶角为36°的等腰△ABC是黄金三角形，AB为较长的腰，BC为较短的底边，直接利用黄金三角形短边与长边的比值代入AB长度即可求BC；
（2）要构造黄金三角形，可延长AC到D使CD=AC，利用垂直平分线性质得到AB=BD，此时∠ABD=36°，得到黄金三角形ABD，先求AD长度，再取一半就是AC的长；
（3）要判断△NDH是否为黄金三角形，先结合黄金分割定义、旋转性质得到边的比例关系，再通过角度推导，验证其是否为有一个内角为36°的等腰三角形，同时验证边比符合黄金比即可。
【解析】
（1）
∵等腰△ABC的顶角∠A=36°，
∴△ABC是黄金三角形，其中AB为较长的腰，BC为较短的底边，根据黄金三角形性质得$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入AB=4，得$BC=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
（2）
延长AC到点D，使CD=AC，连接BD。
∵∠C=90°，即BC⊥AD，且CD=AC，
∴BC垂直平分AD，
∴$AB=DB$，
∴$∠ABD=2∠ABC=2×18°=36°$，即△ABD是顶角为36°的等腰三角形，属于黄金三角形。
根据黄金三角形的性质可知$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2\sqrt{5}-2$，
∴$AC=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}-1$。
（3）△NDH是黄金三角形，理由如下：
∵点P是线段MN的黄金分割点（$PM＜PN$），
∴$\frac{PN}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
由旋转的性质可知$MN=NH$，又$ND=PN$，
∴$\frac{ND}{NH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
设$NH=4k$，则$ND=(2\sqrt{5}-2)k$，
∵$∠HNM=108°$，
∴$∠HND=180°-108°=72°$。
连接MH，
∵$MN=NH$，
∴△MNH是等腰三角形，$∠NMH=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴△MNH是黄金三角形，
∴$\frac{MN}{MH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$MN=4k$得$MH=\frac{4k}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=(2\sqrt{5}+2)k$，
又$MD=MN+ND=4k+(2\sqrt{5}-2)k=(2\sqrt{5}+2)k$，
∴$MH=MD$，△MHD为等腰三角形，
∴$∠HDN=\frac{180°-∠NMH}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴$∠NHD=180°-∠HND-∠HDN=180°-72°-72°=36°$，
即△NDH是有一个内角为36°的等腰三角形，属于黄金三角形。
【答案】
(1)$2\sqrt{5}-2$
(2)$AC=\sqrt{5}-1$
(3)$△NDH$是黄金三角形，理由见解析
【知识点】
黄金三角形性质，黄金分割的定义，旋转的性质
【点评】
本题结合新定义“黄金三角形”，综合考察了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质等几何知识点，需要学生具备一定的辅助线构造能力和知识迁移应用能力，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.55
（1）首先判断顶角为36°的等腰△ABC是黄金三角形，AB为较长的腰，BC为较短的底边，直接利用黄金三角形短边与长边的比值代入AB长度即可求BC；
（2）要构造黄金三角形，可延长AC到D使CD=AC，利用垂直平分线性质得到AB=BD，此时∠ABD=36°，得到黄金三角形ABD，先求AD长度，再取一半就是AC的长；
（3）要判断△NDH是否为黄金三角形，先结合黄金分割定义、旋转性质得到边的比例关系，再通过角度推导，验证其是否为有一个内角为36°的等腰三角形，同时验证边比符合黄金比即可。
【解析】
（1）
∵等腰△ABC的顶角∠A=36°，
∴△ABC是黄金三角形，其中AB为较长的腰，BC为较短的底边，根据黄金三角形性质得$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入AB=4，得$BC=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
（2）
延长AC到点D，使CD=AC，连接BD。
∵∠C=90°，即BC⊥AD，且CD=AC，
∴BC垂直平分AD，
∴$AB=DB$，
∴$∠ABD=2∠ABC=2×18°=36°$，即△ABD是顶角为36°的等腰三角形，属于黄金三角形。
根据黄金三角形的性质可知$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2\sqrt{5}-2$，
∴$AC=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}-1$。
（3）△NDH是黄金三角形，理由如下：
∵点P是线段MN的黄金分割点（$PM＜PN$），
∴$\frac{PN}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
由旋转的性质可知$MN=NH$，又$ND=PN$，
∴$\frac{ND}{NH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
设$NH=4k$，则$ND=(2\sqrt{5}-2)k$，
∵$∠HNM=108°$，
∴$∠HND=180°-108°=72°$。
连接MH，
∵$MN=NH$，
∴△MNH是等腰三角形，$∠NMH=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴△MNH是黄金三角形，
∴$\frac{MN}{MH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$MN=4k$得$MH=\frac{4k}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=(2\sqrt{5}+2)k$，
又$MD=MN+ND=4k+(2\sqrt{5}-2)k=(2\sqrt{5}+2)k$，
∴$MH=MD$，△MHD为等腰三角形，
∴$∠HDN=\frac{180°-∠NMH}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴$∠NHD=180°-∠HND-∠HDN=180°-72°-72°=36°$，
即△NDH是有一个内角为36°的等腰三角形，属于黄金三角形。
【答案】
(1)$2\sqrt{5}-2$
(2)
$AC=\sqrt{5}-1$(3)$△NDH$是黄金三角形，理由见解析
【知识点】
黄金三角形性质，黄金分割的定义，旋转的性质
【点评】
本题结合新定义“黄金三角形”，综合考察了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质等几何知识点，需要学生具备一定的辅助线构造能力和知识迁移应用能力，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.55
