1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O。下列结论错误的是 ()


A.$AC⊥ BD$
B.$AB=BC$
C.$AC=BD$
D.$OB=OD$

C

【分析】
本题要求选出关于菱形性质的错误结论，解题时先回忆菱形的基本性质，再逐一验证每个选项是否符合性质即可。解题思路：先明确菱形边、对角线的特征，依次判断每个选项的正误，最终选出错误选项。
【解析】
根据菱形的性质逐一分析选项：
A. 菱形的对角线互相垂直，因此$AC⊥BD$，该结论正确，不符合题意；
B. 菱形的四条边长度相等，因此$AB=BC$，该结论正确，不符合题意；
C. 菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，仅正方形这种特殊菱形的对角线才相等，因此该结论错误，符合题意；
D. 菱形的对角线互相平分，因此O是BD的中点，$OB=OD$，该结论正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握菱形边、对角线的相关性质，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.9

2.若菱形ABCD的边AB的长为2 cm，则菱形ABCD的周长为()

A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm

D

【分析】
解题时首先回忆菱形的基本性质，菱形的四条边长度都相等，而图形的周长是围成图形所有边长的总和，因此只需要用已知的边长乘4即可求出菱形的周长，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据菱形的性质可知，菱形的四条边长度相等。
已知AB=2cm，因此菱形ABCD的四条边长均为2cm。
菱形的周长为四条边的长度和，即周长=4×AB=4×2=8cm。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查菱形的核心性质，只要熟练掌握菱形四条边相等的特点，结合周长的定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3.如图,已知菱形花坛ABCD,沿其对角线修建两条小路AC和BD,AC与BD相交于点O。若∠ADB=30°,则∠DAC的度数为。

$\boldsymbol{60°}$

【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此可得AC与BD的夹角为90°，即△AOD是直角三角形。再根据直角三角形两个锐角互余的性质，已知其中一个锐角∠ADB=30°，用90°减去30°即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，∠ADO + ∠DAO = 90°，
∵∠ADB=∠ADO=30°，
∴∠DAC=∠DAO=90°-30°=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
菱形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查菱形对角线的相关性质，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，熟练掌握特殊几何图形的性质是解答此类题的核心。
【难度系数】
0.8

4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。若AB=5 cm，BD=8 cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为。

解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，BC=AB=5 cm。
∵ BD=8 cm，
∴ OB = $\frac{1}{2}$BD = 4 cm。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ cm，
∴ AC = 2OA = 6 cm。
菱形ABCD的面积可由对角线计算：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$ cm²，
又∵ $S_{菱形ABCD} = BC · AH$，
∴ $5 · AH = 24$，
解得 $AH = \frac{24}{5}$ cm。
$\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$（或4.8 cm）

【分析】
本题要求菱形边上的高AH，可通过菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解。首先回忆菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分，据此可先在Rt△AOB中用勾股定理求出对角线AC的长度，再用“对角线乘积的一半”算出菱形面积，最后结合“菱形面积=底×高”，代入BC的长度即可求出AH的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，BC=AB=5 cm。
∵ BD=8 cm，
∴ OB = $\frac{1}{2}$BD = 4 cm。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ cm，
∴ AC = 2OA = 6 cm。
菱形ABCD的面积可由对角线计算：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$ cm²，
又
∵ $S_{菱形ABCD} = BC · AH$，
∴ $5 · AH = 24$，
解得 $AH = \frac{24}{5}$ cm。
【答案】
$\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$（或4.8 cm）
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的基础题型，解题核心是灵活运用菱形面积的两种计算方法建立等式，体现了几何中“等面积法”的应用思路，是菱形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

5.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,连接BE,DF。求证:BE=DF。

证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD。
∵ E，F分别是AD，AB的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，AF = $\frac{1}{2}$AB，
∴ AE = AF。
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠A = ∠A \\AE = AF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADF（SAS），
∴ BE = DF。

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中BE、DF分别在△ABE和△ADF中，因此可尝试证明这两个三角形全等：首先利用菱形的性质得到AB=AD，再结合中点定义推出AE=AF，加上公共角∠A相等，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边BE=DF。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD。
∵ E，F分别是AD，AB的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，AF = $\frac{1}{2}$AB，
∴ AE = AF。
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠ A = ∠ A \\AE = AF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADF（SAS），
∴ BE = DF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD。
∵ E，F分别是AD，AB的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，AF = $\frac{1}{2}$AB，
∴ AE = AF。
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠ A = ∠ A \\AE = AF\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADF（SAS），
∴ BE = DF。
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，中点的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，将线段相等的证明转化为三角形全等的证明是解题的核心思路，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85

6. 提升题 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F。
(1)求证：△ABE≌△ADF。
(2)若菱形ABCD的边长为5，AE=4，求CF的长。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = AD$，$∠ B = ∠ D$。
∵ $AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
∴ $∠ AEB = ∠ AFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ AFD \\∠ B = ∠ D \\AB = AD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ADF$（AAS）。
---
(2) 解：
∵ $AE ⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=5$，$AE=4$，
由勾股定理得：
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$
∵ $△ ABE ≌ △ ADF$，
∴ $DF = BE = 3$。
∵ 菱形ABCD边长为5，
∴ $CD = 5$，
∴ $CF = CD - DF = 5 - 3 = 2$。
最终结论：$CF$的长为$\boldsymbol{2}$。

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△ADF，首先结合菱形的性质可得边相等、对角相等，即AB=AD，∠B=∠D；再结合已知的垂直条件可得两个三角形的对应直角相等，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要求CF的长，已知菱形边长为5即CD=5，仅需求出DF的长即可；由第一问的全等结论可得DF=BE，因此先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，再用CD的长度减去DF的长度即可得到CF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB = AD$，$∠ B = ∠ D$。
∵ $AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
∴ $∠ AEB = ∠ AFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ AFD \\∠ B = ∠ D \\AB = AD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ADF$（AAS）。
(2) 解：
∵ $AE ⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=5$，$AE=4$，
由勾股定理得：
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$
∵ $△ ABE ≌ △ ADF$，
∴ $DF = BE = 3$。
∵ 菱形ABCD边长为5，
∴ $CD = 5$，
∴ $CF = CD - DF = 5 - 3 = 2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CF$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于菱形相关的基础综合题，解题时要注意前后小问的关联性，第一问的全等结论可以直接用于第二问的计算，掌握菱形、全等三角形、勾股定理的基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7