1.如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的是()

A.若$∠ ABC=90°$,则四边形ABCD是正方形
B.若$AB=BC$,则四边形ABCD是正方形
C.若$∠ ABC=90°$,则四边形ABCD是矩形
D.若$AB=BC$,则四边形ABCD是矩形

C

【分析】
解题时先回忆特殊平行四边形的判定规则：①在平行四边形的基础上，有一个内角为直角，则该平行四边形是矩形；②在平行四边形的基础上，有一组邻边相等，则该平行四边形是菱形；③在平行四边形的基础上，同时满足有一个直角+一组邻边相等，才是正方形。接下来逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$∠ABC=90°$，则平行四边形ABCD是矩形，没有给出邻边相等的条件，无法判定是正方形，故A错误；
B选项：若$AB=BC$，即平行四边形有一组邻边相等，则四边形ABCD是菱形，没有给出内角为直角的条件，无法判定是正方形，故B错误；
C选项：若$∠ABC=90°$，即平行四边形有一个内角为直角，符合矩形的判定定理，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D选项：若$AB=BC$，即平行四边形有一组邻边相等，则四边形ABCD是菱形，不是矩形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分不同特殊平行四边形的判定条件，避免混淆矩形、菱形、正方形的判定规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2.如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$。将线段CD水平向左平移n个单位长度，得到线段MN。若四边形ABMN为菱形，则n的值为()

A.4
B.3
C.2
D.1

C

【分析】
首先利用平行四边形的性质得到AD、AB的长度，再结合平移的性质可判断四边形ABMN为平行四边形，接下来根据菱形邻边相等的特征求出AN的长度，最后用AD的长度减去AN的长度即可得到平移的距离n的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，BC=8，AB=6
∴ AD=BC=8，CD=AB=6，且AB//CD
∵ 线段CD水平向左平移n个单位长度得到MN
∴ MN=CD=AB，MN//CD，即MN//AB
∴ 四边形ABMN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
若四边形ABMN为菱形，根据菱形的性质可得邻边相等，即AN=AB=6
∴ ND=AD - AN = 8 - 6 = 2
∵ 平移的距离等于点D平移到点N的距离
∴ n=ND=2
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，将平移、平行四边形、菱形的知识点相结合考查，解题的关键是抓住菱形邻边相等的特点，结合平移距离的定义进行计算，难度不大。
【难度系数】
0.8

3.提升题如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点M，N均在格点上。请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图。
(1)在图①中，分别找到格点A，B，使四边形AMBN为正方形。
(2)在图②中，分别找到格点C，D，使四边形CMDN为菱形，但不是正方形。
(3)在图③中，分别找到格点E，F，使四边形EMFN为平行四边形，但不是菱形。

解：
(1) 取线段MN的中点O，在MN的垂直平分线上，取O点竖直向上2个单位长度的格点为A，O点竖直向下2个单位长度的格点为B，顺次连接A、M、B、N，所得四边形AMBN即为所求正方形。
(2) 取线段MN的中点O，在MN的垂直平分线上，取O点竖直向上1个单位长度的格点为C，O点竖直向下1个单位长度的格点为D，顺次连接C、M、D、N，四边形CMDN四条边长均为$\sqrt{5}$，对角线长分别为4和2，对角线不相等，是菱形且不是正方形，符合要求。
(3) 取格点E位于点M向右1格、向上1格处，格点F位于点N向左1格、向下1格处，顺次连接E、M、F、N，四边形EMFN对角线互相平分，是平行四边形，邻边长分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$，邻边长度不相等，不是菱形，符合要求。
注：作图结果不唯一，满足对应判定条件即可。

【分析】
首先明确MN的特征：MN为水平线段，长度为4，中点为两格线交点。
(1) 要构造正方形AMBN，可利用正方形对角线的性质：对角线互相垂直、平分且相等。将MN作为正方形的一条对角线，只需构造另一条与MN垂直、过MN中点、长度为4的对角线，即可在垂直平分线上找到对应格点A、B。
(2) 要构造非正方形的菱形CMDN，利用菱形判定：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，只需满足另一条对角线与MN垂直、过中点，但长度不等于4，即可保证是菱形且不是正方形。
(3) 要构造非菱形的平行四边形EMFN，利用平行四边形判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需让EF和MN互相平分，且邻边不相等（或对角线不垂直），即可找到对应格点。
【解析】
设线段MN的中点为O：
(1) 过O作MN的垂直平分线（竖直方向），在O点上方2个单位长度处取格点A，下方2个单位长度处取格点B，此时MN与AB垂直、互相平分且长度相等，顺次连接A、M、B、N，得到四边形AMBN即为正方形。
(2) 在MN的垂直平分线上，取O点上方1个单位长度的格点为C，下方1个单位长度的格点为D，此时MN与CD垂直且互相平分，四边形CMDN四边相等为菱形；又因MN长为4，CD长为2，对角线不相等，故不是正方形，符合要求。
(3) 取格点E：点M向右1格、向上1格的位置，格点F：点N向左1格、向下1格的位置，此时EF与MN的中点重合，对角线互相平分，故四边形EMFN是平行四边形；计算得邻边长分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$，邻边不相等，故不是菱形，符合要求。
注：满足判定条件的作图均正确，结果不唯一。
【答案】
(1) 取线段MN的中点O，在MN的垂直平分线上，取O点竖直向上2个单位长度的格点为A，O点竖直向下2个单位长度的格点为B，顺次连接A、M、B、N，所得四边形AMBN即为所求正方形。
(2) 取线段MN的中点O，在MN的垂直平分线上，取O点竖直向上1个单位长度的格点为C，O点竖直向下1个单位长度的格点为D，顺次连接C、M、D、N，所得四边形CMDN即为所求非正方形的菱形。
(3) 取格点E位于点M向右1格、向上1格处，格点F位于点N向左1格、向下1格处，顺次连接E、M、F、N，所得四边形EMFN即为所求非菱形的平行四边形。
（作图结果不唯一，满足对应判定条件即可）
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题为开放型网格作图题，核心考查不同特殊四边形的判定与性质区分，需要结合网格的格点特征灵活构造符合要求的图形，能够锻炼学生的几何直观分析能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.6

4.如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$。求证：四边形ABCD是矩形。

证明：
∵ 在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，
∴ $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$AC^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AB^2 + BC^2 = AC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ B = 90°$。
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是矩形。

【分析】
我们的证明目标是平行四边形ABCD为矩形，回忆矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此只需证明该平行四边形存在一个内角为90°即可。题目给出了△ABC的三边长度，我们可以先通过勾股定理的逆定理验证△ABC是否为直角三角形，若得到∠B=90°，结合已知的平行四边形条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，
∴ $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$AC^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AB^2 + BC^2 = AC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ B = 90°$。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是矩形。
【答案】
四边形ABCD是矩形，证明过程如上。
【知识点】
勾股定理的逆定理、矩形的判定、直角三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考查勾股定理逆定理和矩形判定的综合应用，解题的关键是熟练掌握矩形的判定条件，学会利用边长的数量关系判断直角。
【难度系数】
0.8