知识梳理
1.角是图形,对称轴是 .
2.角平分线的性质定理:角平分线上的点到.
3.角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在.
4.角平分线的性质定理与角平分线的判定定理(填“是”或“不是”)互逆定理.
5.三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到相等.

1. 轴对称 角平分线所在的直线
2. 角两边的距离相等
3. 角的平分线上
4. 是
5. 三角形三条边的距离

例题 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$边上,$∠ BAD=120°$,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$,交$BA$的延长线于点$F$,且$∠ AEF=60°$,连结$DE$.求证:$DE$平分$∠ ADC$.

答案:如图,过点$E$作$EG ⊥ AD$于点$G$,$EH ⊥ BC$于点$H$.

$\because EF ⊥ AB,∠ AEF=60°$,
$\therefore ∠ EAF=90°-∠ AEF=90°-60°=30°$.
$\because ∠ BAD=120°$,
$\therefore ∠ CAD =180°-∠ BAD-∠ EAF$
$=180°-120°-30°=30°$.
$\therefore ∠ EAF=∠ CAD=30°$,
即$AC$平分$∠ DAF$.
又$\because EF ⊥ AF,EG ⊥ AD$,
$\therefore EF=EG$.
$\because BE$是$∠ ABC$的平分线,$EF ⊥ AB$,$EH ⊥ BC$,
$\therefore EF=EH$.
$\therefore EG=EH$.
$\therefore$点$E$在$∠ ADC$的平分线上.
$\therefore DE$平分$∠ ADC$.
【解析】过点$E$作$EG ⊥ AD$于点$G$,$EH ⊥ BC$于点$H$,先通过计算得出$∠ EAF=∠ CAD=30°$,根据角平分线的性质得$EF=EG$,$EF=EH$,进而得$EG=EH$,据此根据角平分线的判定定理即可得出结论.
方法点拨 本题首先利用角平分线的定义得到$AC$平分$∠ DAF$,然后再两次利用角平分线的性质定理得到$EG=EH$,最后利用角平分线的判定定理得到结论.特别要注意区分角平分线的性质定理与判定定理.

证明：过点$E$作$EG ⊥ AD$于点$G$，$EH ⊥ BC$于点$H$。
$\because EF ⊥ AB$，$∠ AEF=60°$，
$\therefore ∠ EAF=90°-∠ AEF=90°-60°=30°$。
$\because ∠ BAD=120°$，
$\therefore ∠ CAD = 180°-∠ BAD-∠ EAF$
$=180°-120°-30°=30°$。
$\therefore ∠ EAF=∠ CAD=30°$，
即$AC$平分$∠ DAF$。
又$\because EF ⊥ AF$，$EG ⊥ AD$，
$\therefore EF=EG$。
$\because BE$是$∠ ABC$的平分线，$EF ⊥ AB$，$EH ⊥ BC$，
$\therefore EF=EH$。
$\therefore EG=EH$。
$\therefore$ 点$E$在$∠ ADC$的平分线上。
$\therefore DE$平分$∠ ADC$。