4. 如图，点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线OC，OD，OE，OF，且∠AOC和∠BOD互余，∠AOE与∠BOF互余，OA平分∠COE.

(1)判断∠COE和∠DOF之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)判断OB是否平分∠DOF，并说明理由.

解 (1)∠COE+∠DOF=180°,理由如下：
因为∠AOC和∠BOD互余，∠AOE和∠BOF互余，
所以∠AOC+∠BOD=90°,∠AOE+∠BOF=90°,
所以∠COE + ∠DOF = ∠AOC + ∠AOE+∠BOD+∠BOF=180°。
(2)OB平分∠DOF,理由如下：
因为OA平分∠COE，
所以∠AOC=∠AOE。
因为∠AOC和∠BOD互余，∠AOE与∠BOF互余，
所以∠BOD=90°−∠AOC,∠BOF=90°−∠AOE，
即∠BOD=∠BOF。
所以OB平分∠DOF。

【分析】
(1) 解题时先从已知的互余条件出发，根据互余的定义，互余两角之和为90°，先写出两对互余角的和为90°的等式；再观察待探究的两个角的组成：∠COE可拆分为∠AOC与∠AOE的和，将两个互余等式相加后，对左侧的角重新组合，即可得到∠COE和∠DOF的数量关系。
(2) 要判断OB是否平分∠DOF，只需证明∠BOD=∠BOF即可；先根据角平分线的定义得到∠AOC=∠AOE，再结合互余的性质：等角的余角相等，即可推出∠BOD和∠BOF相等，进而得到结论。
【解析】
(1) $∠ COE + ∠ DOF = 180°$，理由如下：
因为$∠ AOC$和$∠ BOD$互余，$∠ AOE$和$∠ BOF$互余，
所以$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，$∠ AOE + ∠ BOF = 90°$，
所以$∠ COE + ∠ DOF = (∠ AOC + ∠ AOE) + (∠ BOD + ∠ BOF) = (∠ AOC + ∠ BOD) + (∠ AOE + ∠ BOF) = 90° + 90° = 180°$。
(2) OB平分$∠ DOF$，理由如下：
因为OA平分$∠ COE$，
所以$∠ AOC = ∠ AOE$。
因为$∠ AOC$和$∠ BOD$互余，$∠ AOE$与$∠ BOF$互余，
所以$∠ BOD = 90° - ∠ AOC$，$∠ BOF = 90° - ∠ AOE$，
所以$∠ BOD = ∠ BOF$，
所以OB平分$∠ DOF$。
【答案】
(1) $∠ COE + ∠ DOF = 180°$
(2) OB平分$∠ DOF$
【知识点】
余角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查余角的性质与角平分线的判定，解题时需要准确拆解角的组成，结合已知条件推导角的等量关系，是角的运算部分的典型基础题，有助于巩固互余、角平分线相关的基础概念。
【难度系数】
0.75

5.（选做题）【探索与解决】
如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)与∠AOD互余的角是；
(2)与∠AOD互补的角是；
(3)∠DOE是多少度？请简单写出理由.
【拓展与延伸】
如图2，点A，O，B不在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，请你直接写出∠DOE与∠AOB之间的数量关系.

5. 【探索与解决】
(1) ∠COE,∠BOE 解析 因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠AOD=∠COD=1/2∠AOC，∠BOE=∠COE=1/2∠BOC。
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠DOE = ∠COD + ∠COE =1/2∠AOC+1/2∠BOC=90°。
即∠AOD+∠COE=90°,∠AOD+∠BOE=90°,
所以与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE。
(2) ∠BOD 解析 因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以与∠AOD互补的角是∠BOD。
(3) 解 ∠DOE是90°,理由如下：
因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD=1/2∠AOC,∠COE=1/2∠BOC。
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠DOE = ∠COD + ∠COE =1/2∠AOC+1/2∠BOC=90°。
【拓展与延伸】
解 ∠DOE=1/2∠AOB。
提示:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOD=∠COD=1/2∠AOC,∠BOE=∠COE=1/2∠BOC。
因为∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠DOE = ∠COD + ∠COE =1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2∠AOB。

【分析】
解决本题首先要明确角平分线的定义、余角和补角的判定条件，结合角的和差性质推导数量关系：
1. 先根据OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，得到对应相等的半角关系；
2. 判定互余、互补角时，只需找到和∠AOD相加等于90°、180°的角即可，可先推导∠DOE的度数，再结合角的等量代换找到符合条件的角；
3. 计算∠DOE度数时，可将其拆分为两个半角的和，结合平角180°的性质整体计算；
4. 拓展延伸部分类比第(3)问的推导方法，无需平角条件，直接将∠DOE转化为∠AOC与∠BOC和的一半，即可得到和∠AOB的关系。
【解析】
探索与解决
(1) 已知射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，因此：
$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$。
因为点A、O、B共线，所以$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
则$∠ AOD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×180°=90°$，
又因为$∠ COE=∠ BOE$，所以$∠ AOD+∠ BOE=90°$，
因此和$∠ AOD$互余的角是$∠ COE$、$∠ BOE$。
(2) 因为点A、O、B共线，所以$∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=180°$，
因此和$∠ AOD$互补的角是$∠ BOD$。
(3) $∠ DOE=90°$，理由如下：
因为OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，
所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又因为$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
所以$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
拓展与延伸
$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$，推导如下：
因为OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，
所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又因为$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$，
因此$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠COE、∠BOE}$
(2) $\boldsymbol{∠BOD}$
(3) $\boldsymbol{∠DOE=90°}$，理由见解析
拓展与延伸：$\boldsymbol{∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB}$
【知识点】
角平分线的定义，余角和补角，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的基本性质设置问题，解题核心是利用角平分线的性质对所求角进行拆分转化，通过整体代换的方法计算角的度数，拓展部分从特殊（平角）延伸到一般情况，能帮助理解角平分线在角的和差关系中的应用。
【难度系数】
0.7