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1.将一副三角尺分别按图中甲至丁的位置摆放，下列说法错误的是(
A.甲图中α与β相等
B.乙图中α与β相等
C.丙图中α与β互余
D.丁图中α与β互补
B
).A.甲图中α与β相等
B.乙图中α与β相等
C.丙图中α与β互余
D.丁图中α与β互补
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度，结合余角、补角的定义，分别分析四个图中α和β的和差关系，逐一判断选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
一副三角尺的角度分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°，逐个分析选项：
A. 甲图中，α与两个角的公共角之和为90°，β与同一个公共角之和也为90°，根据同角的余角相等，可得α=β，该选项说法正确，不符合题意；
B. 乙图中，α=45° - 两角重叠的公共角，β=30° - 同一个公共角，因此α=β+15°，α与β不相等，该选项说法错误，符合题意；
C. 丙图中，α+β+90°=180°，可得α+β=90°，即α与β互余，该选项说法正确，不符合题意；
D. 丁图中，α与β之和为180°，即α与β互补，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.余角和补角 2.角的和差计算
【点评】
本题是余角补角部分的基础常考题，结合三角尺的摆放考查角的数量关系判断，解题核心是准确识别图形中角的和差关系，熟练运用余角、补角的定义分析即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度，结合余角、补角的定义，分别分析四个图中α和β的和差关系，逐一判断选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
一副三角尺的角度分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°，逐个分析选项：
A. 甲图中，α与两个角的公共角之和为90°，β与同一个公共角之和也为90°，根据同角的余角相等，可得α=β，该选项说法正确，不符合题意；
B. 乙图中，α=45° - 两角重叠的公共角，β=30° - 同一个公共角，因此α=β+15°，α与β不相等，该选项说法错误，符合题意；
C. 丙图中，α+β+90°=180°，可得α+β=90°，即α与β互余，该选项说法正确，不符合题意；
D. 丁图中，α与β之和为180°，即α与β互补，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.余角和补角 2.角的和差计算
【点评】
本题是余角补角部分的基础常考题，结合三角尺的摆放考查角的数量关系判断，解题核心是准确识别图形中角的和差关系，熟练运用余角、补角的定义分析即可。
【难度系数】
0.7
2. 填写下表(若不存在,则填“无”)：
答案
从左往右,第1行:55°,145°;第2行:65°,115°;第3行:无,90°;第4行:120°,无;第5行:(90−n)°,(180−n)°
解析
【分析】
解题前先明确核心概念：①余角：若两个角的和为90°，则两个角互为余角，即∠A的余角=90°-∠A，仅当∠A＜90°时余角存在；②补角：若两个角的和为180°，则两个角互为补角，即∠A的补角=180°-∠A，仅当∠A＜180°时补角存在。接下来逐行根据已知条件代入公式计算，结果为非正数时填“无”即可。
【解析】
逐行计算如下：
1. 第1行：已知∠A=35°
余角：$90°-35°=55°$，补角：$180°-35°=145°$
2. 第2行：已知∠A的余角为25°
先求∠A：$90°-25°=65°$，再求补角：$180°-65°=115°$
3. 第3行：已知∠A=90°
余角：$90°-90°=0°$，不存在，填“无”；补角：$180°-90°=90°$
4. 第4行：已知∠A的补角为60°
先求∠A：$180°-60°=120°$，再求余角：$90°-120°=-30°$，不存在，填“无”
5. 第5行：已知∠A=$n°$（0＜n＜90）
余角：$(90-n)°$，补角：$(180-n)°$
【答案】
从左往右,第1行:55°,145°;第2行:65°,115°;第3行:无,90°;第4行:120°,无;第5行:(90−n)°,(180−n)°
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记余角和补角的定义，注意余角仅对锐角存在，计算时要对应清楚已知条件，不要漏填“无”的情况。
【难度系数】
0.85
解题前先明确核心概念：①余角：若两个角的和为90°，则两个角互为余角，即∠A的余角=90°-∠A，仅当∠A＜90°时余角存在；②补角：若两个角的和为180°，则两个角互为补角，即∠A的补角=180°-∠A，仅当∠A＜180°时补角存在。接下来逐行根据已知条件代入公式计算，结果为非正数时填“无”即可。
【解析】
逐行计算如下：
1. 第1行：已知∠A=35°
余角：$90°-35°=55°$，补角：$180°-35°=145°$
2. 第2行：已知∠A的余角为25°
先求∠A：$90°-25°=65°$，再求补角：$180°-65°=115°$
3. 第3行：已知∠A=90°
余角：$90°-90°=0°$，不存在，填“无”；补角：$180°-90°=90°$
4. 第4行：已知∠A的补角为60°
先求∠A：$180°-60°=120°$，再求余角：$90°-120°=-30°$，不存在，填“无”
5. 第5行：已知∠A=$n°$（0＜n＜90）
余角：$(90-n)°$，补角：$(180-n)°$
【答案】
从左往右,第1行:55°,145°;第2行:65°,115°;第3行:无,90°;第4行:120°,无;第5行:(90−n)°,(180−n)°
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记余角和补角的定义，注意余角仅对锐角存在，计算时要对应清楚已知条件，不要漏填“无”的情况。
【难度系数】
0.85
3. 如果两个角的和等于 $90°$，就说这两个角互为余角. 如果两个角的和等于 $180°$，就说这两个角互为补角.
(1)若$∠ A$ 的余角是$∠ α$，$∠ A$ 的补角是$∠ β$，则$∠ α$ 和$∠ β$ 之间有怎样的数量关系？
(2)若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.
(1)若$∠ A$ 的余角是$∠ α$，$∠ A$ 的补角是$∠ β$，则$∠ α$ 和$∠ β$ 之间有怎样的数量关系？
(2)若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.
答案
解 (1)因为∠α=90°−∠A，∠β=180°−∠A，
所以∠β−∠α = 180°−∠A −(90°−∠A)=90°。
(2)设这个角为x度，则它的余角为(90−x)度，它的补角为(180−x)度。
根据题意可得 180−x=4(90−x)，解得x=60。
答:这个角的度数为60度。
所以∠β−∠α = 180°−∠A −(90°−∠A)=90°。
(2)设这个角为x度，则它的余角为(90−x)度，它的补角为(180−x)度。
根据题意可得 180−x=4(90−x)，解得x=60。
答:这个角的度数为60度。
解析
【分析】
(1) 要推导∠α和∠β的数量关系，首先根据余角、补角的定义，分别写出∠α、∠β与∠A的关系式，再通过代数运算消去∠A，就能得到两个角的数量关系。
(2) 本题给出了补角和余角的倍数关系，属于带等量关系的角度计算问题，适合用方程法求解：先设这个角的度数为x，再用含x的式子分别表示出它的余角和补角，根据“补角=4×余角”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 根据余角的定义可得：$∠α=90°-∠ A$
根据补角的定义可得：$∠β=180°-∠ A$
将两个式子作差计算：
$∠β-∠α=(180°-∠ A)-(90°-∠ A)=180°-∠ A-90°+∠ A=90°$
(2) 设这个角的度数为$x$度，则它的余角为$(90-x)$度，它的补角为$(180-x)$度。
根据题意列方程：
$180-x=4(90-x)$
去括号得：$180-x=360-4x$
移项合并同类项得：$3x=180$
系数化为1得：$x=60$
【答案】
(1) $∠β-∠α=90°$
(2) 这个角的度数为60度
【知识点】
余角与补角的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础题型，第一问通过代数推导得到同角的补角与余角的固定差值规律，第二问考查方程思想在角度计算中的应用，熟练掌握余角、补角的表达式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导∠α和∠β的数量关系，首先根据余角、补角的定义，分别写出∠α、∠β与∠A的关系式，再通过代数运算消去∠A，就能得到两个角的数量关系。
(2) 本题给出了补角和余角的倍数关系，属于带等量关系的角度计算问题，适合用方程法求解：先设这个角的度数为x，再用含x的式子分别表示出它的余角和补角，根据“补角=4×余角”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 根据余角的定义可得：$∠α=90°-∠ A$
根据补角的定义可得：$∠β=180°-∠ A$
将两个式子作差计算：
$∠β-∠α=(180°-∠ A)-(90°-∠ A)=180°-∠ A-90°+∠ A=90°$
(2) 设这个角的度数为$x$度，则它的余角为$(90-x)$度，它的补角为$(180-x)$度。
根据题意列方程：
$180-x=4(90-x)$
去括号得：$180-x=360-4x$
移项合并同类项得：$3x=180$
系数化为1得：$x=60$
【答案】
(1) $∠β-∠α=90°$
(2) 这个角的度数为60度
【知识点】
余角与补角的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础题型，第一问通过代数推导得到同角的补角与余角的固定差值规律，第二问考查方程思想在角度计算中的应用，熟练掌握余角、补角的表达式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
