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6.有一批食品罐头,每听标准质量为 454 g,现抽取 10 听样品进行检测,结果如下表(单位:g):
这 10 听罐头的总质量是多少?
这 10 听罐头的总质量是多少?
答案
6. 解 方法一:$444+459+454+459+454+454+449+454+459+464=4\ 550(\mathrm{g}).$
方法二:把每听罐头超过 454 g 的克数用正数表示,不足的克数用负数表示,10听罐头对应的数分别为$-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10.$
$(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10=[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)=10(\mathrm{g}).$
$454×10+10=4\ 540+10=4\ 550(\mathrm{g}).$
答:这 10 听罐头的总质量为 4 550 g.
方法二:把每听罐头超过 454 g 的克数用正数表示,不足的克数用负数表示,10听罐头对应的数分别为$-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10.$
$(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10=[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)=10(\mathrm{g}).$
$454×10+10=4\ 540+10=4\ 550(\mathrm{g}).$
答:这 10 听罐头的总质量为 4 550 g.
解析
【分析】
要计算10听罐头的总质量，有两种常见解题思路：第一种是直接将10听罐头的质量依次相加得到总和；第二种是利用标准质量简化计算，先把每听质量与标准质量454g作对比，超出的记为正、不足的记为负，先计算10个偏差值的和，再加上10听标准质量的总质量，该方法可借助加法运算律凑整，简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
方法一：直接求和
将10听罐头的质量依次相加：
$444+459+454+459+454+454+449+454+459+464=4550(\mathrm{g})$
方法二：利用正负数简化计算
把超过454g的部分记为正数，不足的部分记为负数，10听罐头对应的偏差分别为：$-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10$
先计算偏差的和：
$\begin{aligned}&(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10\\=&[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)\\=&0+0+10\\=&10(\mathrm{g})\end{aligned}$
再计算总质量：
$454×10 + 10 = 4540 + 10 = 4550(\mathrm{g})$
【答案】
这10听罐头的总质量是$\boxed{4550\ \mathrm{g}}$。
【知识点】
正负数的意义；有理数加法；加法运算律
【点评】
本题既可以直接计算总和，也可以借助标准质量用正负数表示偏差简化计算，后者能有效降低大数加法的计算量，帮助学生体会简便运算的优势，提升运算效率。
【难度系数】
0.85
要计算10听罐头的总质量，有两种常见解题思路：第一种是直接将10听罐头的质量依次相加得到总和；第二种是利用标准质量简化计算，先把每听质量与标准质量454g作对比，超出的记为正、不足的记为负，先计算10个偏差值的和，再加上10听标准质量的总质量，该方法可借助加法运算律凑整，简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
方法一：直接求和
将10听罐头的质量依次相加：
$444+459+454+459+454+454+449+454+459+464=4550(\mathrm{g})$
方法二：利用正负数简化计算
把超过454g的部分记为正数，不足的部分记为负数，10听罐头对应的偏差分别为：$-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10$
先计算偏差的和：
$\begin{aligned}&(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10\\=&[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)\\=&0+0+10\\=&10(\mathrm{g})\end{aligned}$
再计算总质量：
$454×10 + 10 = 4540 + 10 = 4550(\mathrm{g})$
【答案】
这10听罐头的总质量是$\boxed{4550\ \mathrm{g}}$。
【知识点】
正负数的意义；有理数加法；加法运算律
【点评】
本题既可以直接计算总和，也可以借助标准质量用正负数表示偏差简化计算，后者能有效降低大数加法的计算量，帮助学生体会简便运算的优势，提升运算效率。
【难度系数】
0.85
7.(选做题)阅读下面文字:
对于$(-3 \frac{3}{10})+(-1 \frac{1}{2})+2 \frac{3}{5}+2 \frac{1}{2}$,可以计算如下,原式$=[-3+(-\frac{3}{10})]+[-1+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+$
$=0+$
$=$
上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程;
(2)类比上面的方法计算:$(-2025 \frac{2}{3})+2024 \frac{3}{4}+(-2023 \frac{5}{6})+2022 \frac{1}{7}$.
对于$(-3 \frac{3}{10})+(-1 \frac{1}{2})+2 \frac{3}{5}+2 \frac{1}{2}$,可以计算如下,原式$=[-3+(-\frac{3}{10})]+[-1+(-\frac{1}{2})]+(2+\frac{3}{5})+(2+\frac{1}{2})$
$=[(-3)+(-1)+2+2]+$
$(-\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5})$
$=0+$
$\dfrac{3}{10}$
$=$
$\dfrac{3}{10}$
.上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程;
(2)类比上面的方法计算:$(-2025 \frac{2}{3})+2024 \frac{3}{4}+(-2023 \frac{5}{6})+2022 \frac{1}{7}$.
答案
7. (1)$(-\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5})$ $\dfrac{3}{10}$ $\dfrac{3}{10}$
(2) 解 $(-2\ 025\ \dfrac{2}{3})+2\ 024\ \dfrac{3}{4}+(-2\ 023\ \dfrac{5}{6})+2\ 022\ \dfrac{1}{7} = [-2\ 025+(-\dfrac{2}{3})]+(2\ 024+\dfrac{3}{4})+[-2\ 023+(-\dfrac{5}{6})]+(2\ 022+\dfrac{1}{7}) = [-2\ 025+2\ 024+(-2\ 023)+2\ 022]+[-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{7}] = -2+(-\dfrac{17}{28})=-2\dfrac{17}{28}.$
(2) 解 $(-2\ 025\ \dfrac{2}{3})+2\ 024\ \dfrac{3}{4}+(-2\ 023\ \dfrac{5}{6})+2\ 022\ \dfrac{1}{7} = [-2\ 025+(-\dfrac{2}{3})]+(2\ 024+\dfrac{3}{4})+[-2\ 023+(-\dfrac{5}{6})]+(2\ 022+\dfrac{1}{7}) = [-2\ 025+2\ 024+(-2\ 023)+2\ 022]+[-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{7}] = -2+(-\dfrac{17}{28})=-2\dfrac{17}{28}.$
解析
【分析】
本题考查拆项法在有理数加法运算中的应用，解题思路如下：1.拆项：将每个带分数拆分为整数部分与分数部分的和，注意负带分数拆分时整数和分数都带负号；2.分组：利用加法交换律和结合律，将所有整数部分分为一组，所有分数部分分为一组分别计算；3.合并：将整数、分数部分的计算结果相加得到最终答案。第一问按上述思路补全分数部分的组合及计算结果即可，第二问类比第一问的方法逐步计算即可。
【解析】
(1) 提取原式中所有分数部分组合：
分数部分为$(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$，其中$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$互为相反数，和为0，因此分数部分简化为$\boldsymbol{(-\frac{3}{10}+\frac{3}{5})}$；
计算分数部分：$-\frac{3}{10}+\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}+\frac{6}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{10}}$；
整数部分和为0，因此最终结果为$0+\frac{3}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{10}}$。
(2) 按拆项法计算：
第一步：拆分每个带分数
$\begin{aligned}&(-2025 \frac{2}{3})+2024 \frac{3}{4}+(-2023 \frac{5}{6})+2022 \frac{1}{7}\\=&[-2025+(-\frac{2}{3})]+(2024+\frac{3}{4})+[-2023+(-\frac{5}{6})]+(2022+\frac{1}{7})\end{aligned}$
第二步：分组计算整数部分和分数部分
整数部分：$-2025+2024-2023+2022=(-2025+2024)+(-2023+2022)=-1-1=-2$
分数部分：通分（分母最小公倍数为84）计算
$\begin{aligned}&-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\\=&-\frac{56}{84}+\frac{63}{84}-\frac{70}{84}+\frac{12}{84}\\=&\frac{-56+63-70+12}{84}=-\frac{17}{28}\end{aligned}$
第三步：合并结果：$-2+(-\frac{17}{28})=-2\frac{17}{28}$
【答案】
(1) $(-\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5})$；$\dfrac{3}{10}$；$\dfrac{3}{10}$
(2) $-2\dfrac{17}{28}$
【知识点】
有理数加法运算律；拆项法简便计算；分数加减运算
【点评】
本题核心是掌握拆项法的应用，通过拆分带分数、分组合并整数和分数部分，可大幅简化复杂带分数的加减运算，计算时要注意带分数拆分的符号正确性，分数通分计算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题考查拆项法在有理数加法运算中的应用，解题思路如下：1.拆项：将每个带分数拆分为整数部分与分数部分的和，注意负带分数拆分时整数和分数都带负号；2.分组：利用加法交换律和结合律，将所有整数部分分为一组，所有分数部分分为一组分别计算；3.合并：将整数、分数部分的计算结果相加得到最终答案。第一问按上述思路补全分数部分的组合及计算结果即可，第二问类比第一问的方法逐步计算即可。
【解析】
(1) 提取原式中所有分数部分组合：
分数部分为$(-\frac{3}{10})+(-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$，其中$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$互为相反数，和为0，因此分数部分简化为$\boldsymbol{(-\frac{3}{10}+\frac{3}{5})}$；
计算分数部分：$-\frac{3}{10}+\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}+\frac{6}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{10}}$；
整数部分和为0，因此最终结果为$0+\frac{3}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{10}}$。
(2) 按拆项法计算：
第一步：拆分每个带分数
$\begin{aligned}&(-2025 \frac{2}{3})+2024 \frac{3}{4}+(-2023 \frac{5}{6})+2022 \frac{1}{7}\\=&[-2025+(-\frac{2}{3})]+(2024+\frac{3}{4})+[-2023+(-\frac{5}{6})]+(2022+\frac{1}{7})\end{aligned}$
第二步：分组计算整数部分和分数部分
整数部分：$-2025+2024-2023+2022=(-2025+2024)+(-2023+2022)=-1-1=-2$
分数部分：通分（分母最小公倍数为84）计算
$\begin{aligned}&-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\\=&-\frac{56}{84}+\frac{63}{84}-\frac{70}{84}+\frac{12}{84}\\=&\frac{-56+63-70+12}{84}=-\frac{17}{28}\end{aligned}$
第三步：合并结果：$-2+(-\frac{17}{28})=-2\frac{17}{28}$
【答案】
(1) $(-\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5})$；$\dfrac{3}{10}$；$\dfrac{3}{10}$
(2) $-2\dfrac{17}{28}$
【知识点】
有理数加法运算律；拆项法简便计算；分数加减运算
【点评】
本题核心是掌握拆项法的应用，通过拆分带分数、分组合并整数和分数部分，可大幅简化复杂带分数的加减运算，计算时要注意带分数拆分的符号正确性，分数通分计算不要出错。
【难度系数】
0.7
