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1. 在式子$\frac{1}{a},\frac{2xy}{π},\frac{3abc}{4},\frac{5}{6+x},\frac{x}{7}+\frac{y}{8},9x+\frac{10}{y},\frac{x^2}{x}$中，分式的个数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）。A.5
B.4
C.3
D.2
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确分式的判断标准：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式）的式子中，若分母B里含有字母，则该式子是分式。注意两个易错点：①$π$是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判断分式要看原式的形式，不能看化简后的结果。接下来我们逐个分析给出的式子即可统计出分式的个数。
【解析】
我们逐个判断每个式子是否为分式：
1. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为$π$（常数），不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4（常数），不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：各项分母均为常数，是整式，不是分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：第二项的分母为$y$，含有字母，整体是分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为$x$，含有字母，属于分式（不能按化简后的$x$判断为整式）。
综上，分式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式与分式的区分、常数的识别
【点评】
本题是分式概念的基础考察题，易错点是误将$π$当作字母、或仅通过化简后的结果判断分式，只要牢记分式的判断核心是“原式分母含字母”，就能准确作答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确分式的判断标准：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式）的式子中，若分母B里含有字母，则该式子是分式。注意两个易错点：①$π$是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判断分式要看原式的形式，不能看化简后的结果。接下来我们逐个分析给出的式子即可统计出分式的个数。
【解析】
我们逐个判断每个式子是否为分式：
1. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为$π$（常数），不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4（常数），不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：各项分母均为常数，是整式，不是分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：第二项的分母为$y$，含有字母，整体是分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为$x$，含有字母，属于分式（不能按化简后的$x$判断为整式）。
综上，分式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义、整式与分式的区分、常数的识别
【点评】
本题是分式概念的基础考察题，易错点是误将$π$当作字母、或仅通过化简后的结果判断分式，只要牢记分式的判断核心是“原式分母含字母”，就能准确作答。
【难度系数】
0.7
2. 要使分式$\frac{6}{x-19}$有意义，则$x$需满足的条件是
$x≠19$
。答案
$x≠19$
解析
【分析】
要判断分式有意义的条件，首先回忆相关规则：分式有意义的核心要求是分母不等于0。解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步根据规则列关于分母的不等式，第三步解不等式即可得到x的取值范围。本题中分式的分母为$x-19$，因此只需令$x-19≠0$求解即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0。
该分式的分母为$x-19$，因此可得不等式：
$x-19≠0$
解得：$x≠19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，主要考查对分式有意义判定规则的掌握，难度较低，牢记核心规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断分式有意义的条件，首先回忆相关规则：分式有意义的核心要求是分母不等于0。解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步根据规则列关于分母的不等式，第三步解不等式即可得到x的取值范围。本题中分式的分母为$x-19$，因此只需令$x-19≠0$求解即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0。
该分式的分母为$x-19$，因此可得不等式：
$x-19≠0$
解得：$x≠19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，主要考查对分式有意义判定规则的掌握，难度较低，牢记核心规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.若分式$\frac{x-1}{x+1}$无意义，则$x$的值为
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。解题思路可分为三步：第一步找出给定分式的分母，第二步令分母的取值等于0，第三步解对应的一元一次方程，得到的x的值就是所求结果。
【解析】
解：根据分式无意义的条件：分母为0时分式无意义。
本题中分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，
令$x+1=0$，
解得$x=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式无意义的条件
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式基本性质的简单应用，只要准确记忆分式无意义的判定规则，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。解题思路可分为三步：第一步找出给定分式的分母，第二步令分母的取值等于0，第三步解对应的一元一次方程，得到的x的值就是所求结果。
【解析】
解：根据分式无意义的条件：分母为0时分式无意义。
本题中分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，
令$x+1=0$，
解得$x=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式无意义的条件
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式基本性质的简单应用，只要准确记忆分式无意义的判定规则，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.某市对一段全长1 500 m的道路进行改造.原计划每天修x m,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修的长度比原计划的2倍还多35 m,那么修这条路实际用了
$\frac{1500}{2x+35}$
天.答案
$\frac{1500}{2x+35}$
解析
【分析】
解题需结合工程问题的基本数量关系推导：首先回忆公式“工作时间=工作总量÷工作效率”。第一步确定工作总量，题目明确给出道路全长1500m，即工作总量为1500m；第二步计算实际工作效率，已知原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍多35m，可得实际每天修$(2x+35)$m；最后将两个量代入公式，即可求出实际用时。
【解析】
1. 明确工作总量：道路全长为1500 m。
2. 计算实际工作效率：原计划每天修$x$ m，实际每天修的长度比原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路长度为$(2x+35)$ m。
3. 代入工程问题公式计算实际用时：
根据$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，代入数据得实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$天。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
工程问题数量关系、列代数式、分式的意义
【点评】
本题是基础的实际应用题，主要考察对数量关系的提取和代数式的书写，只要准确梳理实际工作效率的表达式，牢记工程问题基本公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题需结合工程问题的基本数量关系推导：首先回忆公式“工作时间=工作总量÷工作效率”。第一步确定工作总量，题目明确给出道路全长1500m，即工作总量为1500m；第二步计算实际工作效率，已知原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍多35m，可得实际每天修$(2x+35)$m；最后将两个量代入公式，即可求出实际用时。
【解析】
1. 明确工作总量：道路全长为1500 m。
2. 计算实际工作效率：原计划每天修$x$ m，实际每天修的长度比原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路长度为$(2x+35)$ m。
3. 代入工程问题公式计算实际用时：
根据$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，代入数据得实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$天。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
工程问题数量关系、列代数式、分式的意义
【点评】
本题是基础的实际应用题，主要考察对数量关系的提取和代数式的书写，只要准确梳理实际工作效率的表达式，牢记工程问题基本公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
5. 已知分式$\frac{3x + 4}{2x - 3}$。
(1)当x取什么值时，分式无意义？
(2)当x取什么值时，分式有意义？
(1)当x取什么值时，分式无意义？
(2)当x取什么值时，分式有意义？
答案
解 由$2x-3=0$,得$x=\frac{3}{2}$.
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义.
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义.
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记分式有意义、无意义的判定规则：分式的分母为0时，分式无意义；分式的分母不为0时，分式有意义。解题时首先求解出使分母2x-3等于0的x的取值，再分别对应两个问题作答即可：无意义对应x取分母为0的取值，有意义对应x不取分母为0的取值。
【解析】
先令分式的分母等于0，列方程求解：
由$2x-3=0$，移项得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
(1) 根据分式无意义的条件，当分母为0时分式无意义，因此当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x + 4}{2x - 3}$无意义；
(2) 根据分式有意义的条件，当分母不为0时分式有意义，因此当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x + 4}{2x - 3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$
(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考察对分式基本性质的掌握，只要明确分母取值和分式状态的对应关系，就能轻松解答，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是牢记分式有意义、无意义的判定规则：分式的分母为0时，分式无意义；分式的分母不为0时，分式有意义。解题时首先求解出使分母2x-3等于0的x的取值，再分别对应两个问题作答即可：无意义对应x取分母为0的取值，有意义对应x不取分母为0的取值。
【解析】
先令分式的分母等于0，列方程求解：
由$2x-3=0$，移项得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
(1) 根据分式无意义的条件，当分母为0时分式无意义，因此当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x + 4}{2x - 3}$无意义；
(2) 根据分式有意义的条件，当分母不为0时分式有意义，因此当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x + 4}{2x - 3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$
(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是分式章节的基础题型，重点考察对分式基本性质的掌握，只要明确分母取值和分式状态的对应关系，就能轻松解答，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.9
6.(1)若分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
答案
解 (1)由题意可知$x^2+3$与$4x+9$同号,而$x^2+3＞0$,所以$4x+9＞0$,解得$x＞-\frac{9}{4}$.
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$.
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2$.
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$.
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2$.
解析
【分析】
(1) 分式的值为正数时，分子和分母同号。首先观察分子$x^2+3$：由于任意实数的平方非负，因此$x^2+3$恒大于0，只需保证分母$4x+9$也为正，同时分母不为0（分母为正自然满足不为0），解对应的不等式即可得到x的取值范围。
(2) 分式的值为负数时，分子和分母异号，因此分两类讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正。分别列出对应不等式组求解，再合并符合条件的解集即可。
【解析】
(1) 由分式值为正数，得分子分母同号。
∵ $x^2≥0$，
∴ $x^2+3≥3＞0$恒成立，
∴ 只需分母$4x+9＞0$，
移项得$4x＞-9$，解得$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式值为负数，得分子分母异号，分两种情况：
① $\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0\end{cases}$
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，两个解集无公共部分，该不等式组无解；
② $\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0\end{cases}$
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，解集公共部分为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围为$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\dfrac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
分式值正负判定、一元一次不等式组的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，核心考查将分式值的符号关系转化为分子分母的符号关系，通过分类讨论列不等式组求解，做题时注意不要遗漏分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
(1) 分式的值为正数时，分子和分母同号。首先观察分子$x^2+3$：由于任意实数的平方非负，因此$x^2+3$恒大于0，只需保证分母$4x+9$也为正，同时分母不为0（分母为正自然满足不为0），解对应的不等式即可得到x的取值范围。
(2) 分式的值为负数时，分子和分母异号，因此分两类讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正。分别列出对应不等式组求解，再合并符合条件的解集即可。
【解析】
(1) 由分式值为正数，得分子分母同号。
∵ $x^2≥0$，
∴ $x^2+3≥3＞0$恒成立，
∴ 只需分母$4x+9＞0$，
移项得$4x＞-9$，解得$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式值为负数，得分子分母异号，分两种情况：
① $\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0\end{cases}$
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，两个解集无公共部分，该不等式组无解；
② $\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0\end{cases}$
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，解集公共部分为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围为$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\dfrac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
分式值正负判定、一元一次不等式组的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，核心考查将分式值的符号关系转化为分子分母的符号关系，通过分类讨论列不等式组求解，做题时注意不要遗漏分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
7.若无论x取何值，分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$总有意义，则m应满足什么条件？
答案
解 要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$总有意义,则$x^2+x-m≠0$,
即$x^2+x≠m$,
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$,
则有$m+\frac{1}{4}＜0$,
解得$m＜-\frac{1}{4}$.
即$x^2+x≠m$,
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$,
则有$m+\frac{1}{4}＜0$,
解得$m＜-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。题目要求“无论x取何值分式总有意义”，即对任意实数x，分母$x^2+x-m$都不等于0。接下来我们可以对分母的二次多项式配方，利用完全平方的非负性推导m的取值：完全平方的最小值为0，只要让配方后等式的右边小于0，就不存在任何x能让分母等于0，满足恒有意义的要求。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$总有意义，需保证分母恒不为0，即：
$\begin{aligned}x^2 + x - m &≠ 0 \\x^2 + x &≠ m\end{aligned}$
对左边的二次式配方，两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} ≠ m + \frac{1}{4}$
整理为完全平方形式：
$(x+\frac{1}{2})^2 ≠ m + \frac{1}{4}$
根据完全平方的非负性，对任意x都有$(x+\frac{1}{2})^2 ≥0$，要让上述不等式对所有x成立，只需右边小于0即可：
$\begin{aligned}m + \frac{1}{4} &＜ 0 \\m &＜ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$m ＜ -\frac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题是分式性质与代数变形结合的典型题型，解题核心是将“分母恒不为0”的要求转化为配方后的不等式，借助完全平方的非负性求解，考察了转化思想和代数恒等变形能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。题目要求“无论x取何值分式总有意义”，即对任意实数x，分母$x^2+x-m$都不等于0。接下来我们可以对分母的二次多项式配方，利用完全平方的非负性推导m的取值：完全平方的最小值为0，只要让配方后等式的右边小于0，就不存在任何x能让分母等于0，满足恒有意义的要求。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$总有意义，需保证分母恒不为0，即：
$\begin{aligned}x^2 + x - m &≠ 0 \\x^2 + x &≠ m\end{aligned}$
对左边的二次式配方，两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} ≠ m + \frac{1}{4}$
整理为完全平方形式：
$(x+\frac{1}{2})^2 ≠ m + \frac{1}{4}$
根据完全平方的非负性，对任意x都有$(x+\frac{1}{2})^2 ≥0$，要让上述不等式对所有x成立，只需右边小于0即可：
$\begin{aligned}m + \frac{1}{4} &＜ 0 \\m &＜ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$m ＜ -\frac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题是分式性质与代数变形结合的典型题型，解题核心是将“分母恒不为0”的要求转化为配方后的不等式，借助完全平方的非负性求解，考察了转化思想和代数恒等变形能力。
【难度系数】
0.6
