分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个的整式,分式的值不变.用式子表
示为$\frac{A}{B}=\frac{A · C}{B · C},\frac{A}{B}=\frac{A ÷ C}{B ÷ C}$,其中$A,B,C(C≠0)$是整式.

不等于0

【分析】
本题考查分式基本性质的核心限制条件，解题思路如下：首先回忆分式有意义的前提是分母不能为0，若分子分母乘或除以的整式为0，一方面0不能作为除数，运算无意义，另一方面乘0后分母会变为0，分式也无意义，再结合题中给出的式子标注了C≠0的要求，即可确定该空的内容。
【解析】
根据分式的基本性质的规定：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
若所乘（或除以）的整式为0：①除法运算中0不能作除数，该运算本身无意义；②乘法运算后分母变为0，分式无意义，因此必须限定这个整式不等于0，恰好对应式子中给出的C≠0的要求，因此该空应填“不等于0”。
【答案】
不等于0
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对分式基本性质的记忆和理解，要特别注意性质中“参与运算的整式不为0”的限制条件，避免因忽略分母不为0的要求出现概念性错误。
【难度系数】
0.9

典例 填空：
(1)$\frac{a - b}{ab}=\frac{( \quad )}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2 + xy}{x^2}=\frac{x + y}{( \quad )}$；
(3)$\frac{x - y}{x + y}=\frac{( \quad )}{(x + y)^2}$；
(4)$\frac{m - n}{m + n}=\frac{( \quad )}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$。

解：
(1) 根据分式的基本性质，将$\frac{a-b}{ab}$的分子、分母同乘$a$，得：
$\frac{a-b}{ab}=\frac{(a-b)· a}{ab· a}=\frac{a^2-ab}{a^2b}$，括号内填$a^2-ab$；
(2) 根据分式的基本性质，将$\frac{x^2+xy}{x^2}$的分子、分母同除以$x$（$x≠0$），得：
$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{(x^2+xy)÷ x}{x^2÷ x}=\frac{x+y}{x}$，括号内填$x$；
(3) 根据分式的基本性质，将$\frac{x-y}{x+y}$的分子、分母同乘$(x+y)$，得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)·(x+y)}=\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}$，括号内填$x^2-y^2$；
(4) 根据分式的基本性质，将$\frac{m-n}{m+n}$的分子、分母同乘$(m-n)$（$m≠ n$，故$m-n≠0$），得：
$\frac{m-n}{m+n}=\frac{(m-n)·(m-n)}{(m+n)·(m-n)}=\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$，括号内填$m^2-2mn+n^2$。

【分析】
这组题目考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先对比等式左右两边已知的分母（或分子），确定变形时是乘了还是除以了哪个整式，再将对应的分子（或分母）做完全相同的运算，化简后即可得到括号内需要填写的内容，变形时要注意所乘除的整式不能为0，保证分式有意义。
【解析】
(1) 观察分母：原分母为$ab$，变形后为$a^2b$，可知分子分母同乘$a$（$a≠0$，保证分式有意义），因此分子$(a-b)$也要乘$a$，得：
$\frac{a-b}{ab}=\frac{(a-b)· a}{ab· a}=\frac{a^2-ab}{a^2b}$，括号内填$a^2-ab$；
(2) 观察分子：原分子为$x^2+xy$，变形后为$x+y$，可知分子分母同除以$x$（$x≠0$，保证分式有意义），因此分母$x^2$也要除以$x$，得：
$\frac{x^2+xy}{x^2}=\frac{(x^2+xy)÷ x}{x^2÷ x}=\frac{x+y}{x}$，括号内填$x$；
(3) 观察分母：原分母为$x+y$，变形后为$(x+y)^2$，可知分子分母同乘$(x+y)$（$x+y≠0$，保证分式有意义），因此分子$(x-y)$也要乘$(x+y)$，得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)·(x+y)}=\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}$，括号内填$x^2-y^2$；
(4) 观察分母：原分母为$m+n$，变形后为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可知分子分母同乘$(m-n)$，题目已知$m≠n$，因此$m-n≠0$，保证分式有意义，因此分子$(m-n)$也要乘$(m-n)$，得：
$\frac{m-n}{m+n}=\frac{(m-n)·(m-n)}{(m+n)·(m-n)}=\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$，括号内填$m^2-2mn+n^2$。
【答案】
(1)$a^2-ab$；(2)$x$；(3)$x^2-y^2$；(4)$m^2-2mn+n^2$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 整式乘法运算 3. 乘法公式
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题的核心是先观察已知的分子或分母的变化规律，再对另一部分做相同的恒等变形，需要注意变形时乘除的整式不能为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.85

典例
答案 (1)$a^2 - ab$ (2)$x$
(3)$x^2 - y^2$ (4)$(m - n)^2$
解析 (1)将分子也乘$a$，得$a^2 - ab$
$\frac{a - b}{ab} = \frac{(\quad)}{a^2b}$
分母乘$a$
(2) 分子除以$x$
$\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{(\quad)}$
将分母也除以$x$，得$x$
温馨提示 (1)分式的分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算；
(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式.
举一反三 填空：
(1)$\frac{2x}{x - y} = \frac{(\quad)}{(x - y)(x + y)}(x ≠ -y)$；
(2)$\frac{y + 2}{y^2 - 4} = \frac{1}{(\quad)}$.
(3)将分子也乘$(x + y)$，得$x^2 - y^2$
$\frac{x - y}{x + y} = \frac{(\quad)}{(x + y)^2}$
分母乘$(x + y)$
(4)将分子也乘$(m - n)$，得$(m - n)^2$
$\frac{m - n}{m + n} = \frac{(\quad)}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$
分母乘$(m - n)$

【举一反三】(1)$2x^2+2xy$ (2)$y-2$

【分析】
这两道题均考查分式基本性质的应用，解题时先观察等式两边已知的分母或分子的变化规律，确定是乘还是除以了哪个整式，再根据“分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”，对分子或分母做相同的运算即可，本题给出的限制条件或隐含条件可保证运算的整式不为0，可直接按规则计算。
【解析】
(1) 观察分母变化：左边分母为$x-y$，右边分母为$(x-y)(x+y)$，可知分母乘了$(x+y)$，题目已给出$x≠ -y$，即$x+y≠ 0$，满足分式基本性质的使用条件。
因此分子也要乘$(x+y)$，计算得：$2x · (x+y) = 2x^2 + 2xy$。
(2) 先对左边分母因式分解，由平方差公式得：$y^2 - 4 = (y+2)(y-2)$。观察分子变化：左边分子为$y+2$，右边分子为1，可知分子除以了$(y+2)$，原分式有意义则$y^2 - 4≠ 0$，即$y≠ \pm2$，故$y+2≠ 0$，满足分式基本性质的使用条件。
因此分母也要除以$(y+2)$，计算得：$(y+2)(y-2) ÷ (y+2) = y-2$。
【答案】
(1)$2x^2 + 2xy$；(2)$y-2$
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题关键是先判断分子或分母的变化情况，再对另一侧做相同的乘除运算，运算过程中要注意保证所乘除的整式不为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.8