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1. 比例的概念
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么称$a,b,c,d$成比例，其中$b,c$称为比例________，$a,d$称为比例________。
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么称$a,b,c,d$成比例，其中$b,c$称为比例________，$a,d$称为比例________。
答案
内项 外项
解析
【分析】
本题考查比例各部分名称的基础概念，解题时可先回忆比例的结构：比例式既可以写成分数形式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也可以写成比的形式$a:b=c:d$。我们按照项所在的位置区分名称：处于比例式中间位置的两个项为比例内项，处于两端位置的两个项为比例外项，对应到题干的分数等式中，即可直接判断b、c和a、d的名称。
【解析】
根据比例的相关定义：当$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（等价于$a:b=c:d$）时，称a、b、c、d成比例，其中位置靠近等号的b、c叫做比例内项，位于等式两端的a、d叫做比例外项。
【答案】
内项 外项
【知识点】
比例的定义；比例各部分名称
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对比例基础组成的记忆，只要牢记相关定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查比例各部分名称的基础概念，解题时可先回忆比例的结构：比例式既可以写成分数形式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也可以写成比的形式$a:b=c:d$。我们按照项所在的位置区分名称：处于比例式中间位置的两个项为比例内项，处于两端位置的两个项为比例外项，对应到题干的分数等式中，即可直接判断b、c和a、d的名称。
【解析】
根据比例的相关定义：当$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（等价于$a:b=c:d$）时，称a、b、c、d成比例，其中位置靠近等号的b、c叫做比例内项，位于等式两端的a、d叫做比例外项。
【答案】
内项 外项
【知识点】
比例的定义；比例各部分名称
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对比例基础组成的记忆，只要牢记相关定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 比例的基本性质
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad=$
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad=$
bc
.答案
2. bc
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考点是比例的基本性质，解题思路有两种：一是利用等式的性质推导，因为比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立时，分母$b$和$d$都不为0，此时在等式两边同时乘以两个分母的乘积$bd$，等式仍然成立，化简后即可得到等积式；二是直接运用比例“两外项之积等于两内项之积”的性质，快速对应外项和内项计算乘积。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据比例成立的条件可得$b≠0$，$d≠0$。
将等式两边同时乘以$bd$，可得：
$\frac{a}{b}× bd=\frac{c}{d}× bd$
化简后得到：$ad=bc$
【答案】
bc
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念类题目，直接考查比例基本性质的简单应用，熟练掌握比例式和等积式的互化规则即可快速解题，是后续学习比例相关计算、相似三角形等内容的基础。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考点是比例的基本性质，解题思路有两种：一是利用等式的性质推导，因为比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立时，分母$b$和$d$都不为0，此时在等式两边同时乘以两个分母的乘积$bd$，等式仍然成立，化简后即可得到等积式；二是直接运用比例“两外项之积等于两内项之积”的性质，快速对应外项和内项计算乘积。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据比例成立的条件可得$b≠0$，$d≠0$。
将等式两边同时乘以$bd$，可得：
$\frac{a}{b}× bd=\frac{c}{d}× bd$
化简后得到：$ad=bc$
【答案】
bc
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念类题目，直接考查比例基本性质的简单应用，熟练掌握比例式和等积式的互化规则即可快速解题，是后续学习比例相关计算、相似三角形等内容的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】根据下列条件，求$\frac{x}{y}$的值（$x,y$为非零实数）.
(1)$3x=2y$；
(2)$\frac{7}{x}=\frac{4}{y}$；
(3)$2y-7x=0$.
(1)$3x=2y$；
(2)$\frac{7}{x}=\frac{4}{y}$；
(3)$2y-7x=0$.
答案
解:(1)$\because 3x=2y,\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.
(2)$\because \frac{7}{x}=\frac{4}{y},\therefore 4x=7y,\therefore \frac{x}{y}=\frac{7}{4}$.
(3)$\because 2y-7x=0,\therefore 7x=2y,\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{7}$.
(2)$\because \frac{7}{x}=\frac{4}{y},\therefore 4x=7y,\therefore \frac{x}{y}=\frac{7}{4}$.
(3)$\because 2y-7x=0,\therefore 7x=2y,\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{7}$.
解析
【分析】
本题需要求非零实数x与y的比值，核心是利用等式和比例的基本性质对已知等式变形，无需担心分母为0的问题。解题思路如下：①对于整式形式的等式，直接通过移项、两边同除以y的系数和y本身，即可得到$\frac{x}{y}$的比值；②对于分式形式的比例式，先利用比例交叉相乘的性质转化为整式等式，再进一步变形求比值。
【解析】
解：已知x、y为非零实数，等式变形均合法：
(1) $\because 3x=2y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{3}$；
(2) $\because \frac{7}{x}=\frac{4}{y}$，交叉相乘得$4x=7y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{7}{4}$；
(3) $\because 2y-7x=0$，移项得$7x=2y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{7}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$；(2)$\frac{7}{4}$；(3)$\frac{2}{7}$
【知识点】
比例的基本性质；等式的基本性质
【点评】
本题是比例相关的基础练习题，主要考察等式变形和比例性质的基础运用，题目明确给出x、y非零的条件，避免了分母为0的陷阱，熟练掌握基础变形规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
本题需要求非零实数x与y的比值，核心是利用等式和比例的基本性质对已知等式变形，无需担心分母为0的问题。解题思路如下：①对于整式形式的等式，直接通过移项、两边同除以y的系数和y本身，即可得到$\frac{x}{y}$的比值；②对于分式形式的比例式，先利用比例交叉相乘的性质转化为整式等式，再进一步变形求比值。
【解析】
解：已知x、y为非零实数，等式变形均合法：
(1) $\because 3x=2y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{3}$；
(2) $\because \frac{7}{x}=\frac{4}{y}$，交叉相乘得$4x=7y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{7}{4}$；
(3) $\because 2y-7x=0$，移项得$7x=2y$，$\therefore \frac{x}{y}=\frac{2}{7}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$；(2)$\frac{7}{4}$；(3)$\frac{2}{7}$
【知识点】
比例的基本性质；等式的基本性质
【点评】
本题是比例相关的基础练习题，主要考察等式变形和比例性质的基础运用，题目明确给出x、y非零的条件，避免了分母为0的陷阱，熟练掌握基础变形规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
【变式1】(2025安徽模拟)已知$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，则$ab=$（
A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案
【变式1】A
解析
【分析】
本题是已知比例式求代数式的值，解题核心是运用比例的基本性质。观察给出的比例式$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，我们可以利用比例“两内项之积等于两外项之积”的性质，直接对比例式交叉相乘，就能快速求出$ab$的结果，不需要额外求解a和b的具体值。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
对于比例式$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，比例的外项为$a$和$b$，内项为$2$和$3$，因此：
$ab = 2×3 = 6$
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考察比例基本性质的直接应用，掌握交叉相乘的变形方法就能快速得出答案，是比例相关知识的基础考察题。
【难度系数】
0.9
本题是已知比例式求代数式的值，解题核心是运用比例的基本性质。观察给出的比例式$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，我们可以利用比例“两内项之积等于两外项之积”的性质，直接对比例式交叉相乘，就能快速求出$ab$的结果，不需要额外求解a和b的具体值。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
对于比例式$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，比例的外项为$a$和$b$，内项为$2$和$3$，因此：
$ab = 2×3 = 6$
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考察比例基本性质的直接应用，掌握交叉相乘的变形方法就能快速得出答案，是比例相关知识的基础考察题。
【难度系数】
0.9
【变式2】已知$3:b=4:a$，下列各式中正确的是（
A.$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$
C.$4a=3b$
D.$ab=12$
A
）A.$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$
C.$4a=3b$
D.$ab=12$
答案
【变式2】A
解析
【分析】
解题思路：本题考查比例的基本性质的应用，首先回忆比例的核心性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。解题时第一步先将已知的比例式$3:b=4:a$利用该性质转化为等积式，第二步再将每个选项的比例式也转化为等积式，和已知得到的等积式对比，若一致则为正确选项，也可以直接对已知的等积式做恒等变形，匹配正确的比例式。
【解析】
已知$3:b=4:a$，根据比例的基本性质（外项之积等于内项之积），可得：
$3× a = 4× b$，即$3a=4b$。
逐一验证选项：
A. 对$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$交叉相乘，得$3a=4b$，和已知推导的结果一致，该选项正确；
B. 对$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，和$3a=4b$不符，该选项错误；
C. $4a=3b$和推导得到的$3a=4b$不符，该选项错误；
D. 由$3a=4b$无法推出$ab=12$，例如当$a=8$，$b=6$时，满足$3a=4b$，但$ab=48≠12$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握比例式与等积式的互化方法，通过交叉相乘验证即可快速得出正确答案，易错点是互换比例内外项时混淆对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路：本题考查比例的基本性质的应用，首先回忆比例的核心性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。解题时第一步先将已知的比例式$3:b=4:a$利用该性质转化为等积式，第二步再将每个选项的比例式也转化为等积式，和已知得到的等积式对比，若一致则为正确选项，也可以直接对已知的等积式做恒等变形，匹配正确的比例式。
【解析】
已知$3:b=4:a$，根据比例的基本性质（外项之积等于内项之积），可得：
$3× a = 4× b$，即$3a=4b$。
逐一验证选项：
A. 对$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}$交叉相乘，得$3a=4b$，和已知推导的结果一致，该选项正确；
B. 对$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，和$3a=4b$不符，该选项错误；
C. $4a=3b$和推导得到的$3a=4b$不符，该选项错误；
D. 由$3a=4b$无法推出$ab=12$，例如当$a=8$，$b=6$时，满足$3a=4b$，但$ab=48≠12$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握比例式与等积式的互化方法，通过交叉相乘验证即可快速得出正确答案，易错点是互换比例内外项时混淆对应关系。
【难度系数】
0.8
【例2】已知四个数$a,b,c,d$成比例，且$a:b = c:d$.
(1)若$a=-2,b=3,c=4$,求$d$的值.
(2)若$a=3,b=4,d=12$,求$c$的值.
(1)若$a=-2,b=3,c=4$,求$d$的值.
(2)若$a=3,b=4,d=12$,求$c$的值.
答案
解:(1)$\because a,b,c,d$成比例,且$a:b=c:d,\therefore ad=bc$.
已知$a=-2,b=3,c=4$,
$\therefore (-2)× d=3× 4$,解得$d=-6$.
(2)$\because a,b,c,d$成比例,且$a:b=c:d,\therefore ad=bc$.
已知$a=3,b=4,d=12$,
$\therefore 3× 12=4c$,解得$c=9$.
已知$a=-2,b=3,c=4$,
$\therefore (-2)× d=3× 4$,解得$d=-6$.
(2)$\because a,b,c,d$成比例,且$a:b=c:d,\therefore ad=bc$.
已知$a=3,b=4,d=12$,
$\therefore 3× 12=4c$,解得$c=9$.
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：若$a:b=c:d$，则外项的乘积等于内项的乘积，即$ad=bc$。两个小问都是已知比例中的三个项，求第四个项，只需将已知的数值代入$ad=bc$这个等式，转化为一元一次方程，求解方程即可得到未知项的值。
【解析】
(1) $\because a,b,c,d$成比例，且$a:b = c:d$，根据比例的基本性质可得$ad=bc$。
将$a=-2$，$b=3$，$c=4$代入等式，得：
$(-2) × d = 3 × 4$
即$-2d=12$，解得$d=-6$。
(2) $\because a,b,c,d$成比例，且$a:b = c:d$，根据比例的基本性质可得$ad=bc$。
将$a=3$，$b=4$，$d=12$代入等式，得：
$3 × 12 = 4c$
即$4c=36$，解得$c=9$。
【答案】
(1) $d=-6$；(2) $c=9$
【知识点】
比例的基本性质、解一元一次方程
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，核心是熟练掌握比例内项积等于外项积的性质，代入已知量求解未知量即可，计算难度低，是比例相关知识的入门考点。
【难度系数】
0.9
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：若$a:b=c:d$，则外项的乘积等于内项的乘积，即$ad=bc$。两个小问都是已知比例中的三个项，求第四个项，只需将已知的数值代入$ad=bc$这个等式，转化为一元一次方程，求解方程即可得到未知项的值。
【解析】
(1) $\because a,b,c,d$成比例，且$a:b = c:d$，根据比例的基本性质可得$ad=bc$。
将$a=-2$，$b=3$，$c=4$代入等式，得：
$(-2) × d = 3 × 4$
即$-2d=12$，解得$d=-6$。
(2) $\because a,b,c,d$成比例，且$a:b = c:d$，根据比例的基本性质可得$ad=bc$。
将$a=3$，$b=4$，$d=12$代入等式，得：
$3 × 12 = 4c$
即$4c=36$，解得$c=9$。
【答案】
(1) $d=-6$；(2) $c=9$
【知识点】
比例的基本性质、解一元一次方程
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，核心是熟练掌握比例内项积等于外项积的性质，代入已知量求解未知量即可，计算难度低，是比例相关知识的入门考点。
【难度系数】
0.9
【变式1】(2025湘潭模拟)四个数$a,b,c,d$成比例，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。若$a=3,b=6,c=2$，则$d$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
【变式1】B
解析
【分析】
本题考查比例的基本性质的应用，解题思路如下：首先明确题目给出的比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，已知其中三个量的值，只需将已知数值代入比例式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将比例式转化为整式方程，求解方程即可得到$d$的值。
【解析】
解：已知四个数满足比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，将$a=3$，$b=6$，$c=2$代入比例式得：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{d}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$3d=6×2$
计算等号右侧得：$3d=12$
系数化为1得：$d=4$
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、解比例
【点评】
本题是基础题型，重点考查比例基本性质的应用，解题的关键是正确代入已知数值，准确完成比例式和等积式的转化，计算难度低，细心即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查比例的基本性质的应用，解题思路如下：首先明确题目给出的比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，已知其中三个量的值，只需将已知数值代入比例式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）将比例式转化为整式方程，求解方程即可得到$d$的值。
【解析】
解：已知四个数满足比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，将$a=3$，$b=6$，$c=2$代入比例式得：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{d}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$3d=6×2$
计算等号右侧得：$3d=12$
系数化为1得：$d=4$
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、解比例
【点评】
本题是基础题型，重点考查比例基本性质的应用，解题的关键是正确代入已知数值，准确完成比例式和等积式的转化，计算难度低，细心即可得分。
【难度系数】
0.9
