1. (1)已知$a:b:c=3:1:4$，求$\dfrac{a - 2b + 3c}{3a + b - 4c}$；
(2)已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=-1$，且$b - d + 2f≠0$，求$\dfrac{a - c + 2e}{b - d + 2f}$的值。

(1) $\because a:b:c=3:1:4,\therefore$ 设 $a = 3k,b = k,c = 4k(k≠0)$。$\therefore \dfrac{a - 2b + 3c}{3a + b - 4c} = \dfrac{3k - 2k + 12k}{9k + k - 16k} = \dfrac{13k}{-6k} = -\dfrac{13}{6}$
(2) $\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=-1$, 且 $b - d + 2f≠0,\therefore a = -b$，$c = -d,e = -f$。$\therefore \dfrac{a - c + 2e}{b - d + 2f} = \dfrac{-b + d - 2f}{b - d + 2f} = -1$

【分析】
(1) 遇到连比的比例问题，可采用设参数的方法统一变量：已知a:b:c=3:1:4，设每一份为参数k（k≠0），即可将a、b、c都用含k的式子表示，代入待求分式后可约去参数k，算出最终结果。
(2) 已知多个分式比值相等时，可根据比值将分子用对应分母表示：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=-1$，可得a=-b、c=-d、e=-f，将其代入待求分式的分子，结合已知分母不为0的条件，约分后即可得到结果。
【解析】
(1) $\because a:b:c=3:1:4$，$\therefore$ 设 $a = 3k,b = k,c = 4k(k≠0)$。
代入分式计算：
$\dfrac{a - 2b + 3c}{3a + b - 4c} = \dfrac{3k - 2k + 12k}{9k + k - 16k} = \dfrac{13k}{-6k} = -\dfrac{13}{6}$
(2) $\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=-1$，且 $b - d + 2f≠0$，
$\therefore a = -b$，$c = -d$，$e = -f$，
代入分式计算：
$\dfrac{a - c + 2e}{b - d + 2f} = \dfrac{-b + d - 2f}{b - d + 2f} = \dfrac{-(b - d + 2f)}{b - d + 2f} = -1$
【答案】
(1) $-\dfrac{13}{6}$；(2) $-1$
【知识点】
比例的基本性质，参数法解比例，分式化简求值
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心解题思路是通过设参数或利用比值关系统一变量表达，代入后约分得到结果，其中设参数法是解决比例类计算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

2.设$a,b,c$是$△ ABC$的三条边，且$\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{b - c}{c} = \dfrac{c - a}{a}$，请判断$△ ABC$为何种三角形，并说明理由。

$△ ABC$ 为等边三角形。理由如下：$\because a,b,c$ 是$△ ABC$ 的三条边,$\therefore a + b + c≠0$。$\because \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{b - c}{c} = \dfrac{c - a}{a},\therefore \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{b - c}{c} = \dfrac{c - a}{a} = \dfrac{a - b + b - c + c - a}{a + b + c} = 0$。$\therefore a - b = 0,b - c = 0,c - a = 0$。$\therefore a = b = c$。$\therefore △ ABC$为等边三角形

【分析】
遇到多个比值相等的问题，首先考虑运用等比性质求解。首先要明确等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题中a、b、c是三角形的三边，均为正数，因此a+b+c≠0，满足等比性质的使用条件；接下来将三个分式的分子、分母分别相加，计算出公共比值，再根据比值为0推出每个分子为0，即可得到三边的数量关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a，b，c是△ABC的三条边，
∴a＞0，b＞0，c＞0，即a+b+c≠0，
∵$\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{b - c}{c} = \dfrac{c - a}{a}$，
根据等比性质可得：
$\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{b - c}{c} = \dfrac{c - a}{a} = \dfrac{(a - b)+(b - c)+(c - a)}{a + b + c} = \dfrac{0}{a+b+c}=0$，
∴$a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，
即$a=b$，$b=c$，$c=a$，
∴$a=b=c$，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC为等边三角形
【知识点】
等比性质，三角形三边性质，等边三角形判定
【点评】
本题考查比例性质与三角形分类的综合应用，解题的关键是牢记等比性质的适用条件，结合三角形边长均为正的特点确定分母和不为0，进而推导出三边相等的结论，熟练掌握比例的基本性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7

3. (1)如果$a,b,c,d$四个数成比例，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad=bc$，其变形依据是；
反过来，如果$ad=bc(a,b,c,d都不等于0)$，可以得出比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么还可以得出哪些不同的比例式(直接写出其中三个正确的比例式)。
(2)如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(b-d≠0)$，那么$\frac{a - c}{b - d}=\frac{c}{d}$成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由。

3. (1) 等式的基本性质，三个比例式为 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c},\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$
(2) 成立。推理过程:由(1)得 $ad = bc,\therefore ad - cd = bc - cd$。即 $d(a - c) = c(b - d),\therefore \dfrac{a - c}{b - d} = \dfrac{c}{d}(b - d≠0)$

【分析】
（1）第一空：将比例式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$变形为等积式$ad=bc$，是给等式两边同时乘$bd$得到的，变形依据为等式的基本性质。要推导其他比例式，只要保证比例式交叉相乘的结果等于$ad=bc$即可，通过交换内项、交换外项、颠倒分子分母等方式就能得到符合要求的比例式。
（2）要判断$\frac{a - c}{b - d}=\frac{c}{d}$是否成立，可从已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$出发，先利用比例基本性质得到$ad=bc$，再对等式做恒等变形，构造出含$a-c$和$b-d$的式子，结合$b-d≠0$的条件推导即可。
【解析】
（1）给$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时乘非零的$bd$，可得$ad=bc$，变形依据是等式的基本性质。
根据$ad=bc$，交换比例内项得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，交换比例外项得$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$，同时颠倒比例两边的分子分母得$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$。
（2）成立，推理过程：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由比例的基本性质得$ad=bc$，
等式两边同时减$cd$，得$ad - cd = bc - cd$，
因式分解得$d(a - c) = c(b - d)$，
因为$b-d≠0$，$d≠0$，等式两边同时除以$d(b-d)$，可得$\frac{a - c}{b - d}=\frac{c}{d}$。
【答案】
（1）等式的基本性质；$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c},\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$（比例式答案不唯一）
（2）成立，推理过程：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$得 $ad = bc$，$\therefore ad - cd = bc - cd$，即 $d(a - c) = c(b - d)$，$\therefore \dfrac{a - c}{b - d} = \dfrac{c}{d}(b - d≠0)$
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质、比例式变形
【点评】
本题考查比例性质的基础应用和等式恒等变形能力，解题核心是熟练掌握比例式与等积式的互化规则，第二问属于比例合分比性质的基础推导，掌握这类变形方法可快速解决同类比例推导问题。
【难度系数】
0.8