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【例1】如图,已知线段$a,b,c(b＞c)$。
求作:线段$AD$,使$AD=a+b-c$。
|思路分析|
数 形 结 合
思考1:作射线$AE$,先在射线$AE$上截取线段$AB=a$,再在射线$BE$上截取线段$BC=b$,即可得$AC=$
思考2:在线段$AC$上截取$CD=c$,则$AD=$
解:
【规律方法】
作图时要正确理解线段的和与差
(1)作和:作线段$a,b$的和,要先作线段$AB=a$,再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$,则线段$AC$就是两线段之和。
(2)作差:作线段$a,b$的差$(a＞b)$,要先作线段$AB=a$,再在线段$AB$上作线段$AC=b$,则线段$BC$就是两线段之差。
求作:线段$AD$,使$AD=a+b-c$。
|思路分析|
思考1:作射线$AE$,先在射线$AE$上截取线段$AB=a$,再在射线$BE$上截取线段$BC=b$,即可得$AC=$
a+b
。思考2:在线段$AC$上截取$CD=c$,则$AD=$
a+b-c
。解:
【规律方法】
作图时要正确理解线段的和与差
(1)作和:作线段$a,b$的和,要先作线段$AB=a$,再在线段$AB$的延长线上作线段$BC=b$,则线段$AC$就是两线段之和。
(2)作差:作线段$a,b$的差$(a＞b)$,要先作线段$AB=a$,再在线段$AB$上作线段$AC=b$,则线段$BC$就是两线段之差。
答案
思考1. a+b
思考2. a+b-c
解:如图,(1)作射线AE,在射线AE上截取线段AB=a;
(2)在射线BE上截取线段BC=b;
(3)在线段AC上截取线段CD=c。
则线段AD=a+b-c。
解析
【分析】
本题考查线段和差的尺规作图，解题需结合线段和、差的几何意义思考：①要得到a+b的长度，可将两条线段顺次拼接在同一条射线上，沿射线方向先后截取长度为a、b的线段，总长度就是两线段之和；②要得到a+b-c的长度，在总长度为a+b的线段上，从端点往回截取长度为c的线段，剩余部分就是所求线段的长度。作图时注意“加”顺着射线方向截，“减”在已有的长线段上向起点方向截即可。
【解析】
思考1：先在射线AE上截取AB=a，再沿射线AE的方向（即BE方向）截取BC=b，根据线段和的定义可得AC=AB+BC=a+b；
思考2：在线段AC上截取CD=c，根据线段差的定义可得AD=AC-CD=a+b-c。
完整作图步骤如下：
(1) 作射线AE，在射线AE上截取线段AB=a；
(2) 继续在射线BE上截取线段BC=b，得到总长为a+b的线段AC；
(3) 在线段AC上截取线段CD=c，剩余的线段AD即为所求。
【答案】
思考1: $\boldsymbol{a+b}$
思考2: $\boldsymbol{a+b-c}$
解: 如图,
(1)作射线$AE$,在射线$AE$上截取线段$AB=a$;
(2)在射线$BE$上截取线段$BC=b$;
(3)在线段$AC$上截取线段$CD=c$。
则线段$AD=a+b-c$。
【知识点】
作线段等于已知线段，线段的和差计算，尺规作图
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，核心是理解线段和与差的几何含义，作图时要注意截取方向的区别：作线段和时沿射线方向顺次截取，作线段差时在长线段上向起点方向截取，避免因方向错误导致作图失误。
【难度系数】
0.8
本题考查线段和差的尺规作图，解题需结合线段和、差的几何意义思考：①要得到a+b的长度，可将两条线段顺次拼接在同一条射线上，沿射线方向先后截取长度为a、b的线段，总长度就是两线段之和；②要得到a+b-c的长度，在总长度为a+b的线段上，从端点往回截取长度为c的线段，剩余部分就是所求线段的长度。作图时注意“加”顺着射线方向截，“减”在已有的长线段上向起点方向截即可。
【解析】
思考1：先在射线AE上截取AB=a，再沿射线AE的方向（即BE方向）截取BC=b，根据线段和的定义可得AC=AB+BC=a+b；
思考2：在线段AC上截取CD=c，根据线段差的定义可得AD=AC-CD=a+b-c。
完整作图步骤如下：
(1) 作射线AE，在射线AE上截取线段AB=a；
(2) 继续在射线BE上截取线段BC=b，得到总长为a+b的线段AC；
(3) 在线段AC上截取线段CD=c，剩余的线段AD即为所求。
【答案】
思考1: $\boldsymbol{a+b}$
思考2: $\boldsymbol{a+b-c}$
解: 如图,
(1)作射线$AE$,在射线$AE$上截取线段$AB=a$;
(2)在射线$BE$上截取线段$BC=b$;
(3)在线段$AC$上截取线段$CD=c$。
则线段$AD=a+b-c$。
【知识点】
作线段等于已知线段，线段的和差计算，尺规作图
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，核心是理解线段和与差的几何含义，作图时要注意截取方向的区别：作线段和时沿射线方向顺次截取，作线段差时在长线段上向起点方向截取，避免因方向错误导致作图失误。
【难度系数】
0.8
1.如图,已知线段$a,b$,且$a＞b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$;
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$;
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
答案
1. (1) 如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在射线 BF 上作线段 BC = b,则线段 AC = a + b.
(2) 如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在线段 AB 上作线段 BD = b,则线段 AD = a - b.
解析
【分析】
要解决线段和差的尺规作图问题，核心是掌握用尺规作相等线段的方法：
(1) 作线段等于$a+b$：需要将两条线段首尾顺次拼接在同一条直线上且不重合，总长度就是两者之和。先画直线作为作图基础，先在上面截取长度为$a$的线段，再从$a$的末端出发，沿$a$的延长方向截取长度为$b$的线段，两段的总长度就是$a+b$。
(2) 作线段等于$a-b$：已知$a＞b$，先作出长度为$a$的线段，再从$a$的一个端点出发，在$a$的线段内部截取长度为$b$的线段，剩余部分的长度就是$a$与$b$的差。
【解析】
(1) ① 用直尺画一条直线$AF$；
② 把圆规两脚张开，对齐线段$a$的两个端点量出$a$的长度，在直线$AF$上截取$AB=a$；
③ 再用圆规量出线段$b$的长度，以点$B$为圆心、$b$的长度为半径画弧，交射线$BF$于点$C$，线段$AC$即为所求的$a+b$。
(2) ① 用直尺画一条直线$AF$；
② 用圆规量出线段$a$的长度，在直线$AF$上截取$AB=a$；
③ 用圆规量出线段$b$的长度，以点$B$为圆心、$b$的长度为半径画弧，交线段$AB$于点$D$，线段$AD$即为所求的$a-b$。
【答案】
(1) 如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在射线 BF 上作线段 BC = b,则线段 AC = a + b.
(2) 如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在线段 AB 上作线段 BD = b,则线段 AD = a - b.
【知识点】
1. 尺规作相等线段
2. 线段和差作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查对线段和差含义的理解，以及用圆规截取等长线段的操作能力，是后续学习复杂尺规作图的重要基础，作图时要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要解决线段和差的尺规作图问题，核心是掌握用尺规作相等线段的方法：
(1) 作线段等于$a+b$：需要将两条线段首尾顺次拼接在同一条直线上且不重合，总长度就是两者之和。先画直线作为作图基础，先在上面截取长度为$a$的线段，再从$a$的末端出发，沿$a$的延长方向截取长度为$b$的线段，两段的总长度就是$a+b$。
(2) 作线段等于$a-b$：已知$a＞b$，先作出长度为$a$的线段，再从$a$的一个端点出发，在$a$的线段内部截取长度为$b$的线段，剩余部分的长度就是$a$与$b$的差。
【解析】
(1) ① 用直尺画一条直线$AF$；
② 把圆规两脚张开，对齐线段$a$的两个端点量出$a$的长度，在直线$AF$上截取$AB=a$；
③ 再用圆规量出线段$b$的长度，以点$B$为圆心、$b$的长度为半径画弧，交射线$BF$于点$C$，线段$AC$即为所求的$a+b$。
(2) ① 用直尺画一条直线$AF$；
② 用圆规量出线段$a$的长度，在直线$AF$上截取$AB=a$；
③ 用圆规量出线段$b$的长度，以点$B$为圆心、$b$的长度为半径画弧，交线段$AB$于点$D$，线段$AD$即为所求的$a-b$。
【答案】
(1) 如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在射线 BF 上作线段 BC = b,则线段 AC = a + b.
(2) 如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB = a,再在线段 AB 上作线段 BD = b,则线段 AD = a - b.
【知识点】
1. 尺规作相等线段
2. 线段和差作图
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查对线段和差含义的理解，以及用圆规截取等长线段的操作能力，是后续学习复杂尺规作图的重要基础，作图时要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点。
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度。
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度。
解:
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度。
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度。
解:
答案
(1) 3.
(2) 3.
(2) 3.
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质，明确中点分原线段得到的两条小线段长度相等。对于(1)，先根据M是AC中点得到MC的长度，再根据N是BC中点得到CN的长度，MN的长度就是MC与CN的长度之和，代入数值计算即可；对于(2)，先把MN表示为MC+CN，再结合中点性质将MC、CN分别转化为AC、BC的一半，提取公因式后发现MN等于AB的一半，代入AB的长度即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 点M是线段AC的中点，$AM=1$
∴ $MC = AM = 1$
∵ 点N是线段BC的中点，$BC=4$
∴ $CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴ $MN = MC + CN = 1 + 2 = 3$
(2)
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$
∴ $MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$
又
∵ $AC + BC = AB$，$AB=6$
∴ $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3$
【答案】
(1) 3；(2) 3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是灵活运用线段中点的性质，解题时注意将所求线段拆解为已知相关线段的和差，第二问运用整体思想将AC+BC替换为AB，可简化计算过程，熟练掌握该类题型可为后续复杂线段计算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时先利用线段中点的性质，明确中点分原线段得到的两条小线段长度相等。对于(1)，先根据M是AC中点得到MC的长度，再根据N是BC中点得到CN的长度，MN的长度就是MC与CN的长度之和，代入数值计算即可；对于(2)，先把MN表示为MC+CN，再结合中点性质将MC、CN分别转化为AC、BC的一半，提取公因式后发现MN等于AB的一半，代入AB的长度即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 点M是线段AC的中点，$AM=1$
∴ $MC = AM = 1$
∵ 点N是线段BC的中点，$BC=4$
∴ $CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴ $MN = MC + CN = 1 + 2 = 3$
(2)
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$
∴ $MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$
又
∵ $AC + BC = AB$，$AB=6$
∴ $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3$
【答案】
(1) 3；(2) 3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是灵活运用线段中点的性质，解题时注意将所求线段拆解为已知相关线段的和差，第二问运用整体思想将AC+BC替换为AB，可简化计算过程，熟练掌握该类题型可为后续复杂线段计算打好基础。
【难度系数】
0.8
