2.如图,已知 C 为线段 AB 的中点,D 在线段 CB 上,且 $ DA=6 $,$ DB=4 $,求 $ CD $ 的长度.

2. 1

【分析】
要计算CD的长度，我们可以先利用已知的DA和DB的长度求出整条线段AB的总长度，因为AB是DA与DB的和。再根据C是AB中点的条件，求出AC（或BC）的长度，最后通过线段的和差关系，用DA减去AC（或用BC减去DB）就能得到CD的长度。
【解析】
解：首先计算线段AB的长度：
∵ $DA=6$，$DB=4$
∴ $AB = DA + DB = 6 + 4 = 10$
∵ C是线段AB的中点
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5$
∴ $CD = DA - AC = 6 - 5 = 1$
【答案】
1
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握线段的和差关系以及线段中点的性质，先求出总线段长度再逐步推导所求线段，思路清晰直观。
【难度系数】
0.8

【例3】如图，A，B是河流$ l $两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由。

解：
【规律方法】
在平面内求最短距离问题时，往往利用线段的基本事实“两点之间，线段最短”来解决。

【例3】 解:如图,连接 AB,与直线 l 交于点 P,点 P 即为所求.理由:两点之间,线段最短.

【分析】
首先明确问题要求：在直线l（河流）上找到一点P，使P到A、B两村的管道总长度即PA+PB最短。回忆线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短。由于A、B在直线l的两侧，若要PA与PB的和最小，只需让PA、PB处于同一条线段上，此时两者的和恰好等于A、B两点间的线段长度，是所有可能情况中的最小值。因此只需连接A、B两点，找到线段AB与直线l的交点，就是所求的点P。
【解析】
1. 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
2. 找到线段AB与直线l的交点，将该交点标记为P，点P即为抽水站的位置。
理由：两点之间，线段最短，此时PA+PB的和等于线段AB的长度，为最小值。
【答案】
如图,连接 AB,与直线 l 交于点 P,点 P 即为所求.理由:两点之间,线段最短.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的基础应用，将实际的最短管道问题转化为数学中的最短路径问题，解题思路直观清晰，核心是对线段基本性质的理解与运用，掌握本题解法可为后续更复杂的最短路径问题学习打好基础。
【难度系数】
0.8

3.如图,设A,B,C,D为4个居民小区,现要建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请写出应用的数学知识.

3. 解:连接AC,BD.图略.购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处.
数学知识:两点之间,线段最短.

【分析】
要找到使4个居民小区到购物中心的距离之和最小的位置，我们可以把总距离和拆成两组两点距离的和：即购物中心到A、C的距离和，以及到B、D的距离和。根据线段的性质，要让到A、C的距离和最小，购物中心必须在线段AC上；要让到B、D的距离和最小，购物中心必须在线段BD上。同时满足这两个条件的点就是两条线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
设购物中心的位置为点P，我们需要使PA+PB+PC+PD的值最小：
1. 对于PA+PC的部分，根据“两点之间，线段最短”，当点P落在线段AC上时，PA+PC=AC，此时这部分距离和取得最小值；
2. 对于PB+PD的部分，同理可得，当点P落在线段BD上时，PB+PD=BD，这部分距离和也取得最小值。
要同时满足两部分距离和最小，点P需要同时在线段AC和BD上，也就是线段AC和BD的交点。因此我们连接AC、BD，两线段的交点即为购物中心的修建位置。
【答案】
连接AC，BD，购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处。应用的数学知识：两点之间，线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；线段交点确定；最值转化
【点评】
本题将实际生活的选址问题转化为数学中的线段最值问题，通过拆分距离和、利用线段基本性质即可求解，能有效锻炼学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7