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6.【模型意识】如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角A点上，这个建筑物的底面是边长为6 m的正方形，拴狗的绳子长15 m。现在狗从B点出发，将绳子拉紧并沿顺时针跑。你知道狗最多可能跑多少米吗？（5分）
答案
6. $2×3.14×15× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6)× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6-6)× \frac{1}{4} =42.39$(米)
解析
【分析】
解题时先分析狗的运动轨迹：狗被拴在A点，顺时针跑的过程中会被建筑物的正方形边遮挡绳子，运动分为三个阶段：①初始阶段绳子未被遮挡，轨迹是半径15m的$\frac{1}{4}$圆（正方形墙角为90°，对应圆周的$\frac{1}{4}$）；②跑过第一个建筑物边长后，绳子被挡住6m，剩余绳长$15-6=9$m，轨迹是半径9m的$\frac{1}{4}$圆；③跑过第二个建筑物边长后，绳子再被挡住6m，剩余绳长$9-6=3$m，轨迹是半径3m的$\frac{1}{4}$圆；之后剩余绳长3m小于建筑物边长，无法继续运动，总路程就是三段弧长的和。
【解析】
圆的周长公式为$C=2π r$，$\frac{1}{4}$圆弧长为对应圆周长的$\frac{1}{4}$：
第一段弧长（半径15m）：$2×3.14×15×\frac{1}{4}$
第二段弧长（半径9m）：$2×3.14×(15-6)×\frac{1}{4}$
第三段弧长（半径3m）：$2×3.14×(15-6-6)×\frac{1}{4}$
总路程：
$\begin{aligned}&2×3.14×15× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6)× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6-6)× \frac{1}{4}\\=&23.55+14.13+4.71\\=&42.39(\mathrm{米})\end{aligned}$
【答案】
42.39米
【知识点】
圆的周长计算、弧长计算、实际几何问题应用
【点评】
本题需要结合实际场景分析运动轨迹，分阶段判断每段弧对应的半径，解题关键是注意绳子被建筑物遮挡后长度会缩短，避免漏算分段弧长。
【难度系数】
0.6
解题时先分析狗的运动轨迹：狗被拴在A点，顺时针跑的过程中会被建筑物的正方形边遮挡绳子，运动分为三个阶段：①初始阶段绳子未被遮挡，轨迹是半径15m的$\frac{1}{4}$圆（正方形墙角为90°，对应圆周的$\frac{1}{4}$）；②跑过第一个建筑物边长后，绳子被挡住6m，剩余绳长$15-6=9$m，轨迹是半径9m的$\frac{1}{4}$圆；③跑过第二个建筑物边长后，绳子再被挡住6m，剩余绳长$9-6=3$m，轨迹是半径3m的$\frac{1}{4}$圆；之后剩余绳长3m小于建筑物边长，无法继续运动，总路程就是三段弧长的和。
【解析】
圆的周长公式为$C=2π r$，$\frac{1}{4}$圆弧长为对应圆周长的$\frac{1}{4}$：
第一段弧长（半径15m）：$2×3.14×15×\frac{1}{4}$
第二段弧长（半径9m）：$2×3.14×(15-6)×\frac{1}{4}$
第三段弧长（半径3m）：$2×3.14×(15-6-6)×\frac{1}{4}$
总路程：
$\begin{aligned}&2×3.14×15× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6)× \frac{1}{4} +2×3.14×(15-6-6)× \frac{1}{4}\\=&23.55+14.13+4.71\\=&42.39(\mathrm{米})\end{aligned}$
【答案】
42.39米
【知识点】
圆的周长计算、弧长计算、实际几何问题应用
【点评】
本题需要结合实际场景分析运动轨迹，分阶段判断每段弧对应的半径，解题关键是注意绳子被建筑物遮挡后长度会缩短，避免漏算分段弧长。
【难度系数】
0.6
7.【空间观念】李爷爷用25.12 m长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡舍(如图)，这个鸡舍的面积是多少平方米？(4分)
答案
7. $3.14×(25.12 × 2 ÷ 3.14 ÷ 2)^2 × \frac{1}{2} =100.48(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要计算半圆形鸡舍的面积，首先需要明确篱笆的长度是半圆形的弧长（因为靠墙一侧不需要篱笆，长度不包含直径）。解题思路如下：第一步，先根据半圆弧长求出对应整圆的周长；第二步，利用圆的周长公式求出圆的半径；第三步，根据圆的面积公式求出整圆的面积，再取一半就是半圆形鸡舍的面积。
【解析】
1. 求整圆的周长：半圆弧长是整圆周长的一半，因此整圆周长 = 半圆弧长×2 = $25.12×2 = 50.24\mathrm{(m)}$
2. 求圆的半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入数据计算：$r=50.24÷3.14÷2=8\mathrm{(m)}$
3. 求半圆形鸡舍的面积：半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，整圆面积公式为$S=π r^2$，代入数据计算：
$3.14×8^2×\frac{1}{2}=3.14×64×\frac{1}{2}=100.48\mathrm{(m^2)}$
列综合算式计算为：$3.14×(25.12 × 2 ÷ 3.14 ÷ 2)^2 × \frac{1}{2} =100.48(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$100.48\mathrm{平方米}$
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；半圆的实际应用
【点评】
本题是圆相关知识的实际应用问题，解题的核心是准确判断篱笆长度对应的是半圆的弧长，不包含直径，避免混淆半圆的弧长和含直径的半圆周长导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算半圆形鸡舍的面积，首先需要明确篱笆的长度是半圆形的弧长（因为靠墙一侧不需要篱笆，长度不包含直径）。解题思路如下：第一步，先根据半圆弧长求出对应整圆的周长；第二步，利用圆的周长公式求出圆的半径；第三步，根据圆的面积公式求出整圆的面积，再取一半就是半圆形鸡舍的面积。
【解析】
1. 求整圆的周长：半圆弧长是整圆周长的一半，因此整圆周长 = 半圆弧长×2 = $25.12×2 = 50.24\mathrm{(m)}$
2. 求圆的半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入数据计算：$r=50.24÷3.14÷2=8\mathrm{(m)}$
3. 求半圆形鸡舍的面积：半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，整圆面积公式为$S=π r^2$，代入数据计算：
$3.14×8^2×\frac{1}{2}=3.14×64×\frac{1}{2}=100.48\mathrm{(m^2)}$
列综合算式计算为：$3.14×(25.12 × 2 ÷ 3.14 ÷ 2)^2 × \frac{1}{2} =100.48(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$100.48\mathrm{平方米}$
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；半圆的实际应用
【点评】
本题是圆相关知识的实际应用问题，解题的核心是准确判断篱笆长度对应的是半圆的弧长，不包含直径，避免混淆半圆的弧长和含直径的半圆周长导致计算错误。
【难度系数】
0.7
8.学校组织学生参加社会实践活动。六年级有 300 人参加，比五年级多 50%，五、六年级参加社会实践活动的人数占全校参加社会实践活动人数的$\frac{1}{4}$。全校有多少人参加社会实践活动？（4分）
答案
$300÷(1+50\%)=200$(人)
$(300+200)÷ \frac{1}{4} =2000$(人)
$(300+200)÷ \frac{1}{4} =2000$(人)
解析
【分析】
解题时首先要明确两个不同的单位“1”：第一个单位“1”是五年级参加活动的人数，题目中“六年级比五年级多50%”，说明六年级人数是五年级的(1+50%)，已知六年级的人数，求单位“1”对应的五年级人数，用除法计算；算出五年级人数后，将五、六年级人数相加得到两个年级的总人数，此时第二个单位“1”是全校参加活动的总人数，已知五、六年级总人数占全校的$\frac{1}{4}$，求全校总人数（单位“1”）仍然用除法，用五六年级总人数除以对应的分率$\frac{1}{4}$即可得到结果。
【解析】
1. 计算五年级参加活动的人数：
把五年级人数看作单位“1”，六年级人数对应分率为$1+50\%$
$300÷(1+50\%)=300÷1.5=200$（人）
2. 计算五、六年级参加活动的总人数：
$300+200=500$（人）
3. 计算全校参加活动的总人数：
把全校总人数看作单位“1”，500人对应分率为$\frac{1}{4}$
$500÷\frac{1}{4}=500×4=2000$（人）
【答案】
全校有2000人参加社会实践活动。
【知识点】
1. 百分数实际应用
2. 分数除法实际应用
3. 单位“1”判定
【点评】
本题是典型的分数、百分数复合应用题，解题关键是正确区分不同的单位“1”，掌握“已知对应量和对应分率，求单位‘1’的量用除法”的计算逻辑，解题时注意不要混淆分率和对应的已知量。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个不同的单位“1”：第一个单位“1”是五年级参加活动的人数，题目中“六年级比五年级多50%”，说明六年级人数是五年级的(1+50%)，已知六年级的人数，求单位“1”对应的五年级人数，用除法计算；算出五年级人数后，将五、六年级人数相加得到两个年级的总人数，此时第二个单位“1”是全校参加活动的总人数，已知五、六年级总人数占全校的$\frac{1}{4}$，求全校总人数（单位“1”）仍然用除法，用五六年级总人数除以对应的分率$\frac{1}{4}$即可得到结果。
【解析】
1. 计算五年级参加活动的人数：
把五年级人数看作单位“1”，六年级人数对应分率为$1+50\%$
$300÷(1+50\%)=300÷1.5=200$（人）
2. 计算五、六年级参加活动的总人数：
$300+200=500$（人）
3. 计算全校参加活动的总人数：
把全校总人数看作单位“1”，500人对应分率为$\frac{1}{4}$
$500÷\frac{1}{4}=500×4=2000$（人）
【答案】
全校有2000人参加社会实践活动。
【知识点】
1. 百分数实际应用
2. 分数除法实际应用
3. 单位“1”判定
【点评】
本题是典型的分数、百分数复合应用题，解题关键是正确区分不同的单位“1”，掌握“已知对应量和对应分率，求单位‘1’的量用除法”的计算逻辑，解题时注意不要混淆分率和对应的已知量。
【难度系数】
0.7
9.某商场举行“庆元旦”活动，一台电视机按定价的90%销售，在此基础上，每台电视机还享受政策补贴200元，并且可返还运费50元。照这样计算，李阿姨买了一台电视机，共花费2900元。这台电视机的定价是多少元？（4分）
答案
$(2900+200+50)÷90\%=3500$(元)
解析
【分析】
这道题我们可以用逆推的思路解题：首先明确李阿姨最终花费的2900元，是在定价打9折的基础上，减去200元补贴、再减去50元运费后得到的金额。我们需要先还原出打9折后的实际售价，再根据折扣的含义算出原来的定价。第一步先把补贴和返还的运费加回到实际花费里，得到打9折后的售价；第二步用打9折后的售价除以对应的折扣90%，就能求出定价。
【解析】
首先计算这台电视机按定价90%销售的价格：
实际花费加上政策补贴和返还的运费，就是打折后的价格，即
$2900 + 200 + 50 = 3150$（元）
已知3150元是定价的90%，求定价用除法计算：
$3150 ÷ 90\% = 3500$（元）
列综合算式计算为：
$(2900 + 200 + 50) ÷ 90\% = 3150 ÷ 0.9 = 3500$（元）
【答案】
3500元
【知识点】
百分数实际应用，折扣问题，逆推法解题
【点评】
本题结合生活中的消费促销场景命题，解题关键是理清实际花费和打折后价格的对应关系，掌握还原逆推的逻辑，避免出现漏加补贴或运费的错误，能有效考查学生运用百分数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这道题我们可以用逆推的思路解题：首先明确李阿姨最终花费的2900元，是在定价打9折的基础上，减去200元补贴、再减去50元运费后得到的金额。我们需要先还原出打9折后的实际售价，再根据折扣的含义算出原来的定价。第一步先把补贴和返还的运费加回到实际花费里，得到打9折后的售价；第二步用打9折后的售价除以对应的折扣90%，就能求出定价。
【解析】
首先计算这台电视机按定价90%销售的价格：
实际花费加上政策补贴和返还的运费，就是打折后的价格，即
$2900 + 200 + 50 = 3150$（元）
已知3150元是定价的90%，求定价用除法计算：
$3150 ÷ 90\% = 3500$（元）
列综合算式计算为：
$(2900 + 200 + 50) ÷ 90\% = 3150 ÷ 0.9 = 3500$（元）
【答案】
3500元
【知识点】
百分数实际应用，折扣问题，逆推法解题
【点评】
本题结合生活中的消费促销场景命题，解题关键是理清实际花费和打折后价格的对应关系，掌握还原逆推的逻辑，避免出现漏加补贴或运费的错误，能有效考查学生运用百分数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.某商城开启年终狂欢大促。甲品牌运动服每满300元减150元，乙品牌运动服采用“折上折”优惠策略，先打七折，在此基础上再打九折。若两种品牌均有一套标价350元的运动服，购买哪种品牌的运动服更划算？（4分）
答案
10. 甲品牌:$350-150=200$(元)
乙品牌:$350×70\%×90\%=220.5$(元)
$220.5＞200$
所以购买甲品牌更划算。
乙品牌:$350×70\%×90\%=220.5$(元)
$220.5＞200$
所以购买甲品牌更划算。
解析
【分析】
要判断购买哪个品牌更划算，只需分别算出两个品牌这套标价350元运动服的实际花费，再比较金额大小，花费更少的就更划算。第一步计算甲品牌花费：先判断350元是否满足满300减150的条件，350元大于300元，可享受减150元的优惠，用标价减去优惠金额就能得到甲的实付金额。第二步计算乙品牌花费：“折上折”是连续打折，先按标价乘70%算出七折后的价格，再用七折后的价格乘90%算出最终实付金额。第三步对比两个实付金额的大小，得出结论。
【解析】
计算甲品牌运动服的实际花费：
因为350元＞300元，符合满减条件，所以实付金额为：
$350 - 150 = 200$（元）
计算乙品牌运动服的实际花费：
先打七折再打九折，列式计算：
$350×70\%×90\%$
$=245×0.9$
$=220.5$（元）
比较两者花费：$220.5元＞200元$，甲品牌花费更少。
【答案】
购买甲品牌的运动服更划算。
【知识点】
折扣问题、最优方案选择、百分数乘法应用
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景，考察了对满减、折上折两类优惠方式的理解和计算能力，能引导学生学会运用数学知识解决实际生活中的消费选择问题，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要判断购买哪个品牌更划算，只需分别算出两个品牌这套标价350元运动服的实际花费，再比较金额大小，花费更少的就更划算。第一步计算甲品牌花费：先判断350元是否满足满300减150的条件，350元大于300元，可享受减150元的优惠，用标价减去优惠金额就能得到甲的实付金额。第二步计算乙品牌花费：“折上折”是连续打折，先按标价乘70%算出七折后的价格，再用七折后的价格乘90%算出最终实付金额。第三步对比两个实付金额的大小，得出结论。
【解析】
计算甲品牌运动服的实际花费：
因为350元＞300元，符合满减条件，所以实付金额为：
$350 - 150 = 200$（元）
计算乙品牌运动服的实际花费：
先打七折再打九折，列式计算：
$350×70\%×90\%$
$=245×0.9$
$=220.5$（元）
比较两者花费：$220.5元＞200元$，甲品牌花费更少。
【答案】
购买甲品牌的运动服更划算。
【知识点】
折扣问题、最优方案选择、百分数乘法应用
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景，考察了对满减、折上折两类优惠方式的理解和计算能力，能引导学生学会运用数学知识解决实际生活中的消费选择问题，实用性较强。
【难度系数】
0.8
