7.已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$与一次函数$y = 2 - x$的图象相交，其中一个交点的横坐标为$3$，则$k$的值为().

A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$

7. A

当$x = 3$时，代入一次函数$y = 2 - x$，得$y = 2 - 3=-1$。
所以交点坐标为$(3,-1)$。
将$(3,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$-1=\frac{k}{3}$，解得$k=-3$。
A

8.如图，点$A$的坐标是$(-2,0)$，点$B$的坐标是$(0,6)$，$C$为$OB$的中点，将$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转$90°$后得到$\triangle A'BC'$.若反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象恰好经过$A'B$的中点$D$，则$k$的值是().

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

8. C

解：
∵点$A(-2,0)$，$B(0,6)$，$C$为$OB$中点，
∴$C(0,3)$。
将$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转$90°$得$\triangle A'BC'$，
过$A'$作$A'E\perp y$轴于$E$，则$\triangle AOB \cong \triangle BEA'$（AAS），
∴$BE=AO=2$，$A'E=BO=6$，
∴$A'(6,6+2)=(6,8)$。
$A'B$中点$D$的坐标为$\left(\frac{-2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(2,4)$？
（注：此处原解析计算$A'$坐标有误，正确推导应为：
过$A'$作$A'E\perp y$轴于$E$，由旋转性质，$BA'=BA$，$\angle A'BE=\angle BAO$，
$AO=2$，$BO=6$，则$BE=AO=2$，$A'E=BO=6$，
∵$B(0,6)$，
∴$E$点纵坐标为$6+2=8$，$A'$横坐标为$A'E=6$，故$A'(6,8)$。
$A'B$中点$D$坐标：$x=\frac{0+6}{2}=3$，$y=\frac{6+8}{2}=7$，即$D(3,5)$。
∵$D$在$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=3×5=15$。
答案：$15$

9.如图，正比例函数$y_1 = mx$，一次函数$y_2 = ax + b$和反比例函数$y_3 = \frac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中，若$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$，则自变量$x$的取值范围是().

A.$x ＜ -1$
B.$-0.5 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$
C.$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$
D.$0 ＜ x ＜ 1$

9. C

解：由图可知，当$x ＜ -1$时，$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$；当$0 ＜ x ＜ 1$时，$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$。
答案：C

10.已知点$A$在反比例函数$y = \frac{12}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点$B$在$x$轴的正半轴上，若$\triangle OAB$为等腰三角形，且腰长为$5$，则$AB$的长为.

10. 5或2$\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$

设点$A\left(a,\dfrac{12}{a}\right)$（$a＞0$），点$B\left(b,0\right)$（$b＞0$）。
情况一：$OA=OB=5$
$OA=\sqrt{a^{2}+\left(\dfrac{12}{a}\right)^{2}}=5$，即$a^{2}+\dfrac{144}{a^{2}}=25$，令$t=a^{2}$，得$t^{2}-25t + 144=0$，解得$t=9$或$t=16$，则$a=3$或$a=4$。
$OB=b=5$，$AB=\sqrt{(a - b)^{2}+\left(\dfrac{12}{a}\right)^{2}}$。
当$a=3$时，$AB=\sqrt{(3 - 5)^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$；
当$a=4$时，$AB=\sqrt{(4 - 5)^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
情况二：$OA=AB=5$
$OA=5$同上，$a=3$或$a=4$。
$AB=5$，即$\sqrt{(a - b)^{2}+\left(\dfrac{12}{a}\right)^{2}}=5$，解得$b=2a$（$b＞0$），此时$AB=5$。
情况三：$OB=AB=5$
$OB=b=5$，$AB=5$，则$\sqrt{(a - 5)^{2}+\left(\dfrac{12}{a}\right)^{2}}=5$，化简得$(a - 5)^{2} + \dfrac{144}{a^{2}}=25$，即$a^{4}-10a^{3}+25a^{2}+144=25a^{2}$，$a^{4}-10a^{3}+144=0$，无正实数解。
综上，$AB$的长为$5$或$2\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$。
5或$2\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$

11.设$A$，$B$，$C$，$D$是反比例函数$y = \frac{k}{x}$图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形$ABCD$可以是平行四边形；
②四边形$ABCD$可以是菱形；
③四边形$ABCD$不可能是矩形；
④四边形$ABCD$不可能是正方形.
其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

11. ①④