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8. (2024昆明官渡区期中)已知$3^{n}=a$，$3^{m}=b$，则$3^{m + n + 1}=$.
答案
3ab
解析
因为$3^{n}=a$，$3^{m}=b$，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。所以$3^{m + n}=3^{m} × 3^{n}=ab$，则$3^{m + n + 1}=3^{m + n} × 3^{1}=ab × 3=3ab$。
9. 计算：
（1）$-x^{6}·(-x)+(-x)^{4}·(-x)^{3}$；
（2）$(b - a)^{2}(a - b)^{3}(b - a)^{5}$.
（1）$-x^{6}·(-x)+(-x)^{4}·(-x)^{3}$；
（2）$(b - a)^{2}(a - b)^{3}(b - a)^{5}$.
答案
（1）原式=-x⁶·(-x)+(-x)⁴·(-x)³
=x⁷+(-x)⁷
=x⁷ - x⁷
=0
（2）原式=(b - a)²(a - b)³(b - a)⁵
=(b - a)²[-(b - a)]³(b - a)⁵
= - (b - a)^(2+3+5)
= - (b - a)¹⁰
= - (a - b)¹⁰
=x⁷+(-x)⁷
=x⁷ - x⁷
=0
（2）原式=(b - a)²(a - b)³(b - a)⁵
=(b - a)²[-(b - a)]³(b - a)⁵
= - (b - a)^(2+3+5)
= - (b - a)¹⁰
= - (a - b)¹⁰
10. 规定$m*n = 3^{n}×3^{m}$.
（1）求$2*3$；
（2）若$2*(x + 1)=81$，求$x$的值.
（1）求$2*3$；
（2）若$2*(x + 1)=81$，求$x$的值.
答案
（1）根据定义$m*n = 3^{n} × 3^{m}$，
所以$2*3 = 3^{3} × 3^{2} = 27 × 9 = 243$。
（2）根据定义，$2*(x + 1) = 3^{x + 1} × 3^{2} = 3^{x + 1} × 9$，
设等式为$3^{x + 1} × 9 = 81$，
即$3^{x + 1} = 9$ （因为$81 ÷ 9 = 9$），
$3^{x + 1} = 3^{2}$，
由此可得$x + 1 = 2$，
解得$x = 1$。
所以$2*3 = 3^{3} × 3^{2} = 27 × 9 = 243$。
（2）根据定义，$2*(x + 1) = 3^{x + 1} × 3^{2} = 3^{x + 1} × 9$，
设等式为$3^{x + 1} × 9 = 81$，
即$3^{x + 1} = 9$ （因为$81 ÷ 9 = 9$），
$3^{x + 1} = 3^{2}$，
由此可得$x + 1 = 2$，
解得$x = 1$。
11. 已知$a^{3}=m$，$a^{5}=n$，试用含$m$，$n$的式子表示$2a^{8}$.
答案
因为$a^{8}=a^{3+5}=a^{3}· a^{5}$，又已知$a^{3}=m$，$a^{5}=n$，所以$a^{8}=m· n=mn$，则$2a^{8}=2mn$。
$2mn$
$2mn$
12. 已知$(a + b)^{a}·(b + a)^{b}=(a + b)^{5}$，且$(a - b)^{a + 4}·(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{7}$，求$a^{a}b^{b}$的值.
答案
由同底数幂乘法法则：$x^m · x^n = x^{m+n}$。
1. 对$(a + b)^{a}·(b + a)^{b}=(a + b)^{5}$：
$ (a + b)^{a}·(a + b)^{b}=(a + b)^{a + b}=(a + b)^{5} $
得$a + b = 5$。
2. 对$(a - b)^{a + 4}·(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{7}$：
$ (a - b)^{(a + 4)+(4 - b)}=(a - b)^{a - b + 8}=(a - b)^{7} $
得$a - b + 8 = 7$，即$a - b = -1$。
3. 联立方程组：
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} $
解得$a = 2$，$b = 3$。
4. 计算$a^a b^b$：
$ 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108 $
答案：108
1. 对$(a + b)^{a}·(b + a)^{b}=(a + b)^{5}$：
$ (a + b)^{a}·(a + b)^{b}=(a + b)^{a + b}=(a + b)^{5} $
得$a + b = 5$。
2. 对$(a - b)^{a + 4}·(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{7}$：
$ (a - b)^{(a + 4)+(4 - b)}=(a - b)^{a - b + 8}=(a - b)^{7} $
得$a - b + 8 = 7$，即$a - b = -1$。
3. 联立方程组：
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} $
解得$a = 2$，$b = 3$。
4. 计算$a^a b^b$：
$ 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108 $
答案：108
解析
由同底数幂乘法法则：$x^m · x^n = x^{m+n}$。
1. 对$(a + b)^{a}·(b + a)^{b}=(a + b)^{5}$：
$ (a + b)^{a}·(a + b)^{b}=(a + b)^{a + b}=(a + b)^{5} $
得$a + b = 5$。
2. 对$(a - b)^{a + 4}·(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{7}$：
$ (a - b)^{(a + 4)+(4 - b)}=(a - b)^{a - b + 8}=(a - b)^{7} $
得$a - b + 8 = 7$，即$a - b = -1$。
3. 联立方程组：
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} $
解得$a = 2$，$b = 3$。
4. 计算$a^a b^b$：
$ 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108 $
1. 对$(a + b)^{a}·(b + a)^{b}=(a + b)^{5}$：
$ (a + b)^{a}·(a + b)^{b}=(a + b)^{a + b}=(a + b)^{5} $
得$a + b = 5$。
2. 对$(a - b)^{a + 4}·(a - b)^{4 - b}=(a - b)^{7}$：
$ (a - b)^{(a + 4)+(4 - b)}=(a - b)^{a - b + 8}=(a - b)^{7} $
得$a - b + 8 = 7$，即$a - b = -1$。
3. 联立方程组：
$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} $
解得$a = 2$，$b = 3$。
4. 计算$a^a b^b$：
$ 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108 $
13. （推理能力）阅读材料：
求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025}$的值.
解：设$S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025}$.①
将等式两边同时乘$2$，得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + ··· + 2^{2025} + 2^{2026}$.②
②$-$①，得$2S - S = 2^{2026} - 1$.
$\therefore S = 2^{2026} - 1$，
即$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025} = 2^{2026} - 1$.
请你仿照此法计算：
$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ··· + 3^{n}$（其中$n$为正整数）.
求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025}$的值.
解：设$S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025}$.①
将等式两边同时乘$2$，得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + ··· + 2^{2025} + 2^{2026}$.②
②$-$①，得$2S - S = 2^{2026} - 1$.
$\therefore S = 2^{2026} - 1$，
即$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ··· + 2^{2025} = 2^{2026} - 1$.
请你仿照此法计算：
$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ··· + 3^{n}$（其中$n$为正整数）.
答案
设$S = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ··· + 3^{n}$.①
将等式两边同时乘$3$，得
$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + ··· + 3^{n} + 3^{n+1}$.②
②$-$①，得$3S - S = 3^{n+1} - 1$.
$\therefore 2S = 3^{n+1} - 1$
$\therefore S=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}$
即$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ··· + 3^{n}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}$
将等式两边同时乘$3$，得
$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + ··· + 3^{n} + 3^{n+1}$.②
②$-$①，得$3S - S = 3^{n+1} - 1$.
$\therefore 2S = 3^{n+1} - 1$
$\therefore S=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}$
即$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ··· + 3^{n}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}$
