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1. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数，指数.
用字母表示：$(a^{m})^{n}=$($m$，$n$都是正整数).
用字母表示：$(a^{m})^{n}=$($m$，$n$都是正整数).
答案
不变；相乘；$a^{mn}$
解析
幂的乘方法则为底数不变，指数相乘。用字母表示为$(a^{m})^{n}=a^{mn}$。
2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的分别，再把所得的幂.
用字母表示：$(ab)^{n}=$($n$是正整数).
用字母表示：$(ab)^{n}=$($n$是正整数).
答案
每一个因式；乘方；相乘；$a^{n}b^{n}$
解析
本题考查积的乘方法则的文字表述和字母表示形式。
积的乘方法则为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$是正整数）。
积的乘方法则为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$是正整数）。
3. 拓展应用：
(1)$[(a^{m})^{n}]^{p}=$($m$，$n$，$p$都是正整数).
(2)$a^{mn}=(a^{m})^{n}=$($m$，$n$都是正整数).
(3)$(abc)^{n}=$($n$是正整数).
(4)$a^{n}b^{n}=$($n$是正整数).
(1)$[(a^{m})^{n}]^{p}=$($m$，$n$，$p$都是正整数).
(2)$a^{mn}=(a^{m})^{n}=$($m$，$n$都是正整数).
(3)$(abc)^{n}=$($n$是正整数).
(4)$a^{n}b^{n}=$($n$是正整数).
答案
(1)$a^{mnp}$
(2)$(a^n)^m$
(3)$a^n b^n c^n$
(4)$(ab)^n$
(2)$(a^n)^m$
(3)$a^n b^n c^n$
(4)$(ab)^n$
解析
(1) 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。先算$(a^m)^n=a^{mn}$，再算$(a^{mn})^p=a^{mnp}$，故填$a^{mnp}$。
(2) 由幂的乘方逆运算，$a^{mn}$也可表示为$(a^n)^m$，故填$(a^n)^m$。
(3) 根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(abc)^n=a^n b^n c^n$，故填$a^n b^n c^n$。
(4) 由积的乘方逆运算，$a^n b^n=(ab)^n$，故填$(ab)^n$。
(2) 由幂的乘方逆运算，$a^{mn}$也可表示为$(a^n)^m$，故填$(a^n)^m$。
(3) 根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(abc)^n=a^n b^n c^n$，故填$a^n b^n c^n$。
(4) 由积的乘方逆运算，$a^n b^n=(ab)^n$，故填$(ab)^n$。
【例1】计算$(-x^{3})^{2}(-x^{2})^{3}+x^{3}· x^{9}$.
答案
$( - x^{3})^{2} · ( - x^{2})^{3} + x^{3} · x^{9}$
$ =(-1)^{2}×(x^{3})^{2}×(-1)^{3}×(x^{2})^{3}+x^{3 + 9}$
$ =1× x^{6}×(-1)× x^{6}+x^{12}$
$ =-x^{6 + 6}+x^{12}$
$ = - x^{12} + x^{12}$
$ = 0$
综上，原式的结果为$0$。
$ =(-1)^{2}×(x^{3})^{2}×(-1)^{3}×(x^{2})^{3}+x^{3 + 9}$
$ =1× x^{6}×(-1)× x^{6}+x^{12}$
$ =-x^{6 + 6}+x^{12}$
$ = - x^{12} + x^{12}$
$ = 0$
综上，原式的结果为$0$。
【变式1】计算：
（1）$-(a^{2})^{5}$；（2）$[(-3)^{3}]^{2}$；
（3）$(a^{n})^{n + 1}$；（4）$-[- (a - 3)^{3}]^{4}$.
（1）$-(a^{2})^{5}$；（2）$[(-3)^{3}]^{2}$；
（3）$(a^{n})^{n + 1}$；（4）$-[- (a - 3)^{3}]^{4}$.
答案
（1）
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$-(a^2)^5 = -a^{2 × 5} = -a^{10}$
（2）
先计算内层的幂：$(-3)^3 = -27$，
再对结果进行幂运算：$(-27)^2 = 729$，
也可以直接应用幂的乘方运算法则：
$[(-3)^3]^2 = (-3)^{3 × 2} = 9^3（或原式= 3^6） = 729$
（3）
根据幂的乘方运算法则，
$(a^n)^{n+1} = a^{n(n+1)}$
（4）
先计算内层幂：$(a-3)^3$，
再考虑外层的负号和四次幂：
$-[- (a - 3)^{3}]^{4} = -[(a - 3)^{3}]^{4}（因为负负得正）$
$= -(a - 3)^{3 × 4} = -(a - 3)^{12}$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$-(a^2)^5 = -a^{2 × 5} = -a^{10}$
（2）
先计算内层的幂：$(-3)^3 = -27$，
再对结果进行幂运算：$(-27)^2 = 729$，
也可以直接应用幂的乘方运算法则：
$[(-3)^3]^2 = (-3)^{3 × 2} = 9^3（或原式= 3^6） = 729$
（3）
根据幂的乘方运算法则，
$(a^n)^{n+1} = a^{n(n+1)}$
（4）
先计算内层幂：$(a-3)^3$，
再考虑外层的负号和四次幂：
$-[- (a - 3)^{3}]^{4} = -[(a - 3)^{3}]^{4}（因为负负得正）$
$= -(a - 3)^{3 × 4} = -(a - 3)^{12}$
【例2】已知$a^{m}=2$，$a^{n}=b$，求$a^{3m + 2n}$的值.
答案
$a^{3m + 2n}=a^{3m} · a^{2n}=(a^{m})^{3} · (a^{n})^{2}$，
因为$a^{m}=2$，$a^{n}=b$，
所以原式$=2^{3} · b^{2}=8b^{2}$.
因为$a^{m}=2$，$a^{n}=b$，
所以原式$=2^{3} · b^{2}=8b^{2}$.
【变式2】已知$10^{a}=2$，$10^{b}=3$，求$10^{2a}+10^{3b}$的值.
答案
因为$10^{a}=2$，所以$10^{2a}=(10^{a})^{2}=2^{2}=4$；
因为$10^{b}=3$，所以$10^{3b}=(10^{b})^{3}=3^{3}=27$；
则$10^{2a}+10^{3b}=4 + 27=31$。
31
因为$10^{b}=3$，所以$10^{3b}=(10^{b})^{3}=3^{3}=27$；
则$10^{2a}+10^{3b}=4 + 27=31$。
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【例3】计算：
（1）$(-3x^{3})^{2}-x^{2}· x^{4}-(x^{2})^{3}$；
（2）$a^{3}· a· a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$.
（1）$(-3x^{3})^{2}-x^{2}· x^{4}-(x^{2})^{3}$；
（2）$a^{3}· a· a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$.
答案
（1）
$(-3x^{3})^{2}-x^{2} · x^{4}-(x^{2})^{3}$
$=(-3)^2 · (x^{3})^{2}-x^{2+4}-x^{2×3}$
$=9x^{6}-x^{6}-x^{6}$
$=(9 - 1 - 1)x^{6}$
$=7x^{6}$
（2）
$a^{3} · a · a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$
$=a^{3 + 1+4}+(-2)^2 · (a^{4})^{2}+a^{2×4}$
$=a^{8}+4a^{8}+a^{8}$
$=(1 + 4+1)a^{8}$
$=6a^{8}$
$(-3x^{3})^{2}-x^{2} · x^{4}-(x^{2})^{3}$
$=(-3)^2 · (x^{3})^{2}-x^{2+4}-x^{2×3}$
$=9x^{6}-x^{6}-x^{6}$
$=(9 - 1 - 1)x^{6}$
$=7x^{6}$
（2）
$a^{3} · a · a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$
$=a^{3 + 1+4}+(-2)^2 · (a^{4})^{2}+a^{2×4}$
$=a^{8}+4a^{8}+a^{8}$
$=(1 + 4+1)a^{8}$
$=6a^{8}$
