1. 如图，$AB = CD$，$BD = AC$。求证：$\angle B = \angle C$。

证明：连接AD。
在△ABD和△DCA中，
∵AB=CD，
BD=AC，
AD=DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）。
∴∠B=∠C。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 20^{\circ}$。过点$A$作$AE \perp BC$，垂足为$E$，延长$EA$至点$D$，使$AD = AC$。在边$AC$上截取$AF = AB$，连接$DF$。求证：$DF = CB$。

在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°。
∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，∠C=20°，
∴∠EAC=90°-∠C=90°-20°=70°。
∵E，A，D三点共线（延长EA至D），
∴∠EAD=180°，
∴∠DAC=∠EAD-∠EAC=180°-70°=110°，
∴∠DAC=∠BAC=110°。
∵F在AC上，∴∠DAF=∠DAC=110°，即∠DAF=∠BAC。
在△ADF和△ACB中，
AF=AB（截取可知），
∠DAF=∠CAB（已证），
AD=AC（延长可知），
∴△ADF≌△ACB（SAS），
∴DF=CB。

3. （2024 保山一模）如图，点$E$，$F$在线段$BC$上，$AB // CD$，$\angle AEB = \angle DFC$，$BE = CF$。求证：$\triangle ABE \cong \triangle DCF$。

证明：
由于 $AB // CD$，
根据平行线的性质，得：$\angle B = \angle C$，
因为$\angle AEB = \angle DFC$，
$BE = CF$，
在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，
$\begin{cases}\angle AEB = \angle DFC, \\BE = CF, \\\angle B = \angle C.\end{cases}$
根据角边角（$ASA$）判定定理，得：
$\triangle ABE \cong \triangle DCF$。

4. 如图，已知$AB // CF$，$DE = EF$。
(1) 求证：$\triangle ADE \cong \triangle CFE$；
(2) 若$AB = 9$，$CF = 5$，求$BD$的长。

(1) 证明：
∵AB//CF，
∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ECF，
∠AED=∠CEF（对顶角相等），
DE=EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）。
(2) 解：
∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5。
∵AB=9，
∴BD=AB-AD=9-5=4。
答案：(2) 4