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6. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，DF 是△CDE 的中线. 若 $ S_{\triangle DEF} = 2 $，则 $ S_{\triangle ABC} $等于().
A.16
B.14
C.12
D.10
A.16
B.14
C.12
D.10
答案
A
解析
∵DF是△CDE的中线，∴S△CDE=2S△DEF=2×2=4；
∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△CDE=2×4=8；
∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=2×8=16。
∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△CDE=2×4=8；
∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=2×8=16。
7. (2025 昆明五华区期末)如图，在△ABC 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AC \neq AB $，AD 是斜边 BC 上的高，$ DE \perp AC $，$ DF \perp AB $，垂足分别为 E，F，则图中与∠C(∠C 除外)相等的角有().
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
答案
A
解析
在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB。
1. ∠BAD=∠C：在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°；在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，同角的余角相等，故∠BAD=∠C。
2. ∠ADE=∠C：在Rt△ADC中，∠C+∠DAC=90°；DE⊥AC，在Rt△ADE中，∠ADE+∠DAC=90°，同角的余角相等，故∠ADE=∠C。
3. ∠FDB=∠C：DF⊥AB，∠BAC=90°，则DF//AC（垂直于同一直线的两直线平行），同位角相等，故∠FDB=∠C。
综上，与∠C相等的角有3个。
1. ∠BAD=∠C：在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°；在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，同角的余角相等，故∠BAD=∠C。
2. ∠ADE=∠C：在Rt△ADC中，∠C+∠DAC=90°；DE⊥AC，在Rt△ADE中，∠ADE+∠DAC=90°，同角的余角相等，故∠ADE=∠C。
3. ∠FDB=∠C：DF⊥AB，∠BAC=90°，则DF//AC（垂直于同一直线的两直线平行），同位角相等，故∠FDB=∠C。
综上，与∠C相等的角有3个。
8. (易错题)如图，$ \angle 1 $，$ \angle 2 $，$ \angle 3 $，$ \angle 4 $恒满足的关系是().
A.$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4 $
B.$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 4 - \angle 3 $
C.$ \angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3 $
D.$ \angle 1 + \angle 4 = \angle 2 - \angle 3 $
A.$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4 $
B.$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 4 - \angle 3 $
C.$ \angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3 $
D.$ \angle 1 + \angle 4 = \angle 2 - \angle 3 $
答案
C
解析
设∠2所在三角形中与∠2不相邻的一个内角为∠5，由三角形外角性质得∠2=∠1+∠5。在另一个三角形中，∠4为外角，由外角性质得∠4=∠3+∠5，即∠5=∠4-∠3。将∠5=∠4-∠3代入∠2=∠1+∠5，得∠2=∠1+∠4-∠3，整理得∠1+∠4=∠2+∠3。
9. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形支架，这是因为三角形具有性.
答案
稳定
解析
自行车的设计中，将梁做成三角形的形状是因为三角形具有稳定性。三角形的形状在力学上非常稳固，不容易变形，因此被广泛用于各种结构设计中，以增加稳定性和承重能力。
10. 如图，点 D 在△ABC 的边 BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，$ \angle A = 80^{\circ} $，$ \angle B = 40^{\circ} $，则∠ACE 的大小是.
答案
$60°$
解析
由三角形的外角性质，$\angle ACD = \angle A + \angle B = 80° + 40° = 120°$。
由于$CE$平分$\angle ACD$，
所以，$\angle ACE = \frac{1}{2} × \angle ACD = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
由于$CE$平分$\angle ACD$，
所以，$\angle ACE = \frac{1}{2} × \angle ACD = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
11. 若一个三角形的两边长分别是 4 和 9，且周长是偶数，则第三边长为.
答案
7或9或11
解析
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，$9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4$，即$5 ＜ x ＜ 13$。三角形周长为$4 + 9 + x = 13 + x$，周长是偶数，$13$是奇数，所以$x$为奇数。在$5 ＜ x ＜ 13$的奇数有$7$，$9$，$11$。
12. 如图，在△ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 是边 AB 上的高，BD 与 CE 相交于点 O，则∠ABD∠ACE(选填“＞”“＜”或“=”)，$ \angle A + \angle DOE = $.
答案
=；180°
解析
在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°。在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠A；在Rt△ACE中，∠ACE=90°-∠A，故∠ABD=∠ACE。
四边形AEOD中，∠AEO=∠ADO=90°（高的定义），四边形内角和为360°，则∠A+∠AEO+∠DOE+∠ADO=360°，即∠A+90°+∠DOE+90°=360°，∴∠A+∠DOE=180°。
四边形AEOD中，∠AEO=∠ADO=90°（高的定义），四边形内角和为360°，则∠A+∠AEO+∠DOE+∠ADO=360°，即∠A+90°+∠DOE+90°=360°，∴∠A+∠DOE=180°。
13. 如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ \angle 3 = \angle 4 $，$ \angle BAC = 63^{\circ} $. 求∠DAC 的度数.
答案
设∠1=∠2=x，∠DAC=y。
∵∠BAC=∠1+∠DAC=63°，
∴x+y=63°，即y=63°-x。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=2x。
∵∠3=∠4，
∴∠4=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠2+∠4=180°，
即63°+x+2x=180°，
解得3x=117°，x=39°。
∴y=63°-x=63°-39°=24°。
∠DAC的度数为24°。
答案：24°
∵∠BAC=∠1+∠DAC=63°，
∴x+y=63°，即y=63°-x。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=2x。
∵∠3=∠4，
∴∠4=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠2+∠4=180°，
即63°+x+2x=180°，
解得3x=117°，x=39°。
∴y=63°-x=63°-39°=24°。
∠DAC的度数为24°。
答案：24°
14. 已知等腰三角形的周长为 18 cm，其中两边之差为 3 cm. 求三角形的三边长.
答案
情况一：设腰长为$x\, cm$，底边长为$y\, cm$，腰比底边长$3\, cm$。
则$\begin{cases}2x + y = 18\\x - y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 7\\y = 4\end{cases}$
三边长：$7\, cm,7\, cm,4\, cm$，验证：$7 + 7 ＞ 4$，$7 + 4 ＞ 7$，成立。
情况二：设腰长为$x\, cm$，底边长为$y\, cm$，底边比腰长$3\, cm$。
则$\begin{cases}2x + y = 18\\y - x = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 5\\y = 8\end{cases}$
三边长：$5\, cm,5\, cm,8\, cm$，验证：$5 + 5 ＞ 8$，$5 + 8 ＞ 5$，成立。
结论：三角形三边长为$7\, cm,7\, cm,4\, cm$或$5\, cm,5\, cm,8\, cm$。
则$\begin{cases}2x + y = 18\\x - y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 7\\y = 4\end{cases}$
三边长：$7\, cm,7\, cm,4\, cm$，验证：$7 + 7 ＞ 4$，$7 + 4 ＞ 7$，成立。
情况二：设腰长为$x\, cm$，底边长为$y\, cm$，底边比腰长$3\, cm$。
则$\begin{cases}2x + y = 18\\y - x = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 5\\y = 8\end{cases}$
三边长：$5\, cm,5\, cm,8\, cm$，验证：$5 + 5 ＞ 8$，$5 + 8 ＞ 5$，成立。
结论：三角形三边长为$7\, cm,7\, cm,4\, cm$或$5\, cm,5\, cm,8\, cm$。
