12. (★★)如图,已知 $ \angle AOB : \angle BOC = 3 : 2 $,OD 是 $ \angle BOC $ 的平分线,OE 是 $ \angle AOC $ 的平分线,且 $ \angle BOE = 12^{\circ} $,求 $ \angle DOE $ 的度数.

解:设∠AOB=3x，则∠BOC=2x.
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x
因为OE是∠AOC的平分线，
所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{5}{2}x$
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE
$=3x-\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}x$
因为∠BOE=12°，
所以$\frac{1}{2}x=12°.$
解得x=24°.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=x=24°.$
所以∠DOE=∠BOD+∠BOE
=24°+12°
=36°.

13. (★★)如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上,E 为线段 AC 的中点,且 $ AB = CD $.
(1)若 $ AE = 2 $,求线段 BD 的长；
(2)若 $ BE = 21 $,且 $ 5BC = 3AD $,求线段 AD 的长.

(1) ∵E为线段AC的中点，AE=2，∴AC=2AE=4，EC=AE=2。
由图知点顺序为A-E-C-B-D，∴AB=AC+CB，CD=CB+BD。
∵AB=CD，∴AC+CB=CB+BD，∴AC=BD=4，即BD=4。
(2) 设BC=x，∵5BC=3AD，∴AD=5x/3。
设AE=EC=m，∵E为AC中点，∴AC=2m。
由图知BE=EC+CB=m+x=21，∴m=21-x。
AD=AE+EC+CB+BD=m+m+x+BD=2m+x+BD。
∵AB=CD，AB=AC+CB=2m+x，CD=CB+BD=x+BD，∴2m+x=x+BD，∴BD=2m。
∴AD=2m+x+2m=4m+x。
将m=21-x代入AD=4m+x，得AD=4(21-x)+x=84-3x。
又AD=5x/3，∴84-3x=5x/3，解得x=18。
∴AD=5×18/3=30。
(1) 4；(2) 30。

14. (★★)已知点 A,B,C 位于直线 l 上,其中线段 $ AB = 4 $,且 $ 2BC = 3AB $,若 M 是线段 AC 的中点,则线段 BM 的长为 【】
A.1
B.3
C.5 或 1
D.1 或 4

C