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8. 命题“对于任意自然数$n$,$(2n - 1)^{2}+(2n + 1)^{2}一定是2$的整数倍”是不是真命题？请说明理由。
答案
真命题。理由如下:(2n−1)²+(2n+1)²=8n²+2=2(4n²+1),结论得证。
解析
真命题。理由如下：$(2n - 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$
$=4n^{2} - 4n + 1 + 4n^{2} + 4n + 1$
$=8n^{2} + 2$
$=2(4n^{2} + 1)$。
因为$n$是自然数，所以$4n^{2} + 1$是整数，因此$2(4n^{2} + 1)$一定是$2$的整数倍。
$=4n^{2} - 4n + 1 + 4n^{2} + 4n + 1$
$=8n^{2} + 2$
$=2(4n^{2} + 1)$。
因为$n$是自然数，所以$4n^{2} + 1$是整数，因此$2(4n^{2} + 1)$一定是$2$的整数倍。
9. 如图,将三角板$DEF叠放在三角板ABC$上,使顶点$A$,$F$重合,边$EF落在\angle BAC$内。已知$\angle ACB = \angle DFE = 90^{\circ}$,$\angle BAC = 60^{\circ}$。
(1)若$\angle CAE = 25^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数。
(2)猜想$\angle CAE与\angle BAD$的数量关系,并给出证明。
(1)若$\angle CAE = 25^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数。
(2)猜想$\angle CAE与\angle BAD$的数量关系,并给出证明。
答案
(1)由∠BAC=60°,∠CAE=25°,得∠EAB=∠BAC−∠CAE=35°。因为∠DFE=90°,所以∠BAD=∠DFE−∠EAB=55°。
(2)猜想:∠BAD−∠CAE=30°。事实上,由∠BAC=60°,得∠EAB=∠BAC −∠CAE=60°−∠CAE。而∠DFE=90°,则∠BAD=∠DFE−∠EAB=90°−(60°−∠CAE)=30°+∠CAE,所以∠BAD−∠CAE=30°。
