21. 如图所示,在正方形ABCD中,M是边BC上的一点(不与B,C重合),点N在边CD的延长线上,且满足∠MAN= 90°,连接MN,AC. MN与边AD交于点E.
(1)求证：AM= AN.
(2)如果∠CAD= 2∠NAD,求证：$AM^2= \sqrt{2}AB\cdot AE$.
(3)MN交AC点O,若$\frac{CM}{BM}= k$,则$\frac{OM}{ON}= $______(直接写答案,用含k的代数式表示).

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABM=∠ADN=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠BAM+∠MAD=∠NAD+∠MAD=90°，
∴∠BAM=∠NAD，
在△ABM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABM=∠ADN\\ AB=AD\\ ∠BAM=∠NAD\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN(ASA)，
∴AM=AN；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CAD=45°，
∵∠CAD=2∠NAD，
∴∠NAD=22.5°，
由(1)知∠BAM=∠NAD=22.5°，
∵∠BAC=45°，
∴∠MAC=∠BAC - ∠BAM=45° - 22.5°=22.5°，
∵∠MAN=90°，AM=AN，
∴∠AMN=45°，
∵∠AEM=∠NED，∠ADN=∠AMN=90°，
∴△AEM∽△DEN，
∴∠MAE=∠DNE=22.5°，
在△AEM中，∠MAE=22.5°，∠AME=45°，
由正弦定理得：$\frac{AM}{\sin∠AEM}=\frac{AE}{\sin∠AME}$，
∵∠AEM=180° - 22.5° - 45°=112.5°，sin112.5°=sin(67.5°)=sin(45°+22.5°)=$\sin45°\cos22.5°+\cos45°\sin22.5°=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos22.5°+\sin22.5°)$，
sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设AB=AD=a，在Rt△ABM中，∠BAM=22.5°，
tan∠BAM=tan22.5°=$\frac{BM}{AB}=\frac{BM}{a}$，BM=a tan22.5°，
AM=$\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=a\sqrt{1+\tan^{2}22.5°}=a\sec22.5°$，
AE可由△AED中，∠EAD=90° - 22.5°=67.5°，
cos∠EAD=cos67.5°=$\frac{AD}{AE}$，AE=$\frac{AD}{\cos67.5°}=\frac{a}{\cos67.5°}$，
∵cos67.5°=sin22.5°，sec22.5°=$\frac{1}{\cos22.5°}$，
$\frac{AM}{AE}=\frac{a\sec22.5°}{\frac{a}{\cos67.5°}}=\frac{\cos67.5°}{\cos22.5°}=\frac{\sin22.5°}{\cos22.5°}=\tan22.5°=\sqrt{2}-1$，
又∵$\sqrt{2}AB\cdot AE=\sqrt{2}a\cdot AE$，
AM²=($\sqrt{2}-1$)²a²=(3 - 2$\sqrt{2}$)a²，
$\sqrt{2}AB\cdot AE=\sqrt{2}a\cdot\frac{a}{\cos67.5°}=\sqrt{2}a²\cdot\frac{1}{\sin22.5°}$，
∵sin22.5°=$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$，$\frac{1}{\sin22.5°}=\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$，
$\sqrt{2}a²\cdot\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=2a²(\sqrt{2}+1)$，
而AM²=(3 - 2$\sqrt{2}$)a²，经修正，正确方法为：
∵∠MAC=∠NAD=22.5°，∠ACM=45°，∠AND=∠AMB=67.5°，
△AMC∽△AEN，
$\frac{AM}{AE}=\frac{AC}{AN}$，
∵AC=$\sqrt{2}AB$，AM=AN，
∴AM²=$\sqrt{2}AB\cdot AE$；
(3)$\frac{1}{k+1}$