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1. 一个三位数，个位数字为 $a$，十位数字比个位数字小 $2$，百位数字比个位数字大 $1$，那么这个三位数是
111a + 80
(填化简后的结果)。答案
111a + 80
2. 如图所示，将两个正方形并排摆放在一起，阴影部分的面积可以表示为
$\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab + b^{2}$
。答案
$\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2$
3. 小莉在做一道多项式的加减运算题时，不小心将墨汁弄到了题目上：$(-x^{2}+3xy-\frac {1}{2}y^{2})-(-\frac {1}{2}x^{2}+4xy-\frac {3}{2}y^{2})=-\frac {1}{2}x^{2}$
$+y^{2}$。被墨汁(阴影部分)遮住的一项应是
$+y^{2}$。被墨汁(阴影部分)遮住的一项应是-xy
。答案
-xy
4. 有理数 $a$，$-b$ 在数轴上的位置如图所示，化简：$\vert 1 - 3b\vert - 2\vert 2 + b\vert + \vert 2 - 3a\vert =$
3a + b - 7
。答案
3a + b - 7
5. 已知关于 $x$，$y$ 的多项式 $(2x^{2}+ax - y + b)+(2bx^{2}-3x + 5y - 1)$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $3(a^{2}-ab - b^{2})-(4a^{2}+ab + b^{2})$ 的值。
答案
解：$(2x^2 + ax - y + b) + (2bx^2 - 3x + 5y - 1)$
$=(2 + 2b)x^2 + (a - 3)x + 4y + (b - 1)。$
根据题意，得2 + 2b = 0，a - 3 = 0。
解得a = 3，b = -1。
$3(a^2 - ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)$
$=3a^2 - 3ab - 3b^2 - 4a^2 - ab - b^2$
$=-a^2 - 4ab - 4b^2。$
把a = 3，b = -1代入，得
$-3^2 - 4×3×(-1) - 4×(-1)^2 = -1。$
6. 【问题呈现】
（1）已知代数式 $mx - y - 3x + 4y - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m$ 的值。
【类比应用】
（2）将 $7$ 张如图①所示的小长方形纸片（长为 $a$，宽为 $b$），按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）的面积分别记为 $S_{1}$，$S_{2}$。当 $AB$ 的长变化时，$S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系。
（1）已知代数式 $mx - y - 3x + 4y - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m$ 的值。
【类比应用】
（2）将 $7$ 张如图①所示的小长方形纸片（长为 $a$，宽为 $b$），按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）的面积分别记为 $S_{1}$，$S_{2}$。当 $AB$ 的长变化时，$S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系。
答案
解：(1)原式=(m - 3)x + 3y - 1。
根据题意，得含x项的系数为0，即
m - 3 = 0，
所以m = 3。
(2)设AB = n，
则$S_{1} = a(n - 3b) = an - 3ab，$
$S_{2} = 2b(n - 2a) = 2bn - 4ab，$
所以$ S_{1} - S_{2} = an - 3ab - 2bn + 4ab $
= (a - 2b)n + ab ，
根据题意，得含 n 项的系数为 0 ，即
a - 2b = 0 。
所以 a = 2b 。
根据题意，得含x项的系数为0，即
m - 3 = 0，
所以m = 3。
(2)设AB = n，
则$S_{1} = a(n - 3b) = an - 3ab，$
$S_{2} = 2b(n - 2a) = 2bn - 4ab，$
所以$ S_{1} - S_{2} = an - 3ab - 2bn + 4ab $
= (a - 2b)n + ab ，
根据题意，得含 n 项的系数为 0 ，即
a - 2b = 0 。
所以 a = 2b 。
