1. 三角形的中线：在三角形中,连接一个顶点与它所对的边的的叫作这个三角形的中线,如图所示,BF 是△ABC 的一条中线；

三角形三条中线的叫作三角形的重心。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的与这个角的对边相交,角的顶点和之间的叫作三角形的角平分线。如图所示,CE 是△ABC 的一条角平分线。
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的画,和之间的叫作三角形的高。如图所示,AD 是△ABC 的一条高。

1. 中点，线段，交点；
2. 平分线，交点，线段；
3. 直线，垂线，顶点，垂足，线段。

1. 在三角形中，连接一个顶点与它所对的边的中点，的线段叫作这个三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫作三角形的重心。
2. 三角形一个内角的平分线，与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。
3. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线，画垂线，顶点和垂足，之间的线段，叫作三角形的高。

【例 1】 如图所示,AD 是△ABC 的中线。
(1)若 AB = 7,AC = 5,求△ABD 与△ACD 的周长之差；
(2)画出图中的△ABC 的另外两条中线,观察三条中线的位置有什么特点？

（1）
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = DC$。
$\triangle ABD$的周长$C_{\triangle ABD}=AB + BD + AD$，$\triangle ACD$的周长$C_{\triangle ACD}=AC + CD + AD$。
则$C_{\triangle ABD}-C_{\triangle ACD}=(AB + BD + AD)-(AC + CD + AD)$
$=AB - AC$
已知$AB = 7$，$AC = 5$，所以$AB - AC=7 - 5 = 2$。
（2）
另两条中线：分别取$AB$中点$E$，连接$CE$；取$AC$中点$F$，连接$BF$。
三条中线位置特点：三角形的三条中线相交于一点。
综上，（1）$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长之差为$2$；（2）三条中线相交于一点。

三角形的三条中线相交于内部一点,这个交点是三角形的重心。由三角形的一条中线可得两条相等的线段和两个面积相等的三角形。

答题（解答）如下：
证明：
设三角形为$\triangle ABC$，其中$D$、$E$、$F$分别为边$BC$、$AC$、$AB$的中点，且$AD$、$BE$、$CF$为三角形的三条中线，它们相交于点$G$。
根据三角形中线的性质，中线将对边分为两段相等的部分，即：
$BD = DC$，
$AE = EC$，
$AF = FB$。
考虑中线$AD$，它将三角形$\triangle ABC$分为两个面积相等的部分：
$\triangle ABD$和$\triangle ACD$，
即$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$（因为等底等高的三角形面积相等）。
同理，中线$BE$将三角形分为：
$\triangle ABE$和$\triangle BCE$，
$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle BCE}$。
中线$CF$将三角形分为：
$\triangle ACF$和$\triangle BCF$，
$S_{\triangle ACF} = S_{\triangle BCF}$。
由于$G$是三条中线的交点，因此它是三角形的重心。
根据重心性质，重心将中线分为2:1的两部分，即：
$AG:GD = 2:1$，
$BG:GE = 2:1$，
$CG:GF = 2:1$。
综上，证明了三角形的三条中线相交于内部一点，这个交点是三角形的重心，并且由三角形的一条中线可得两条相等的线段和两个面积相等的三角形。

1. 如图所示,AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,以下结论正确的是()

A.BC = 2AD
B.AF = $\frac{1}{2}$AB
C.AD = CD
D.BE = CF

B

三角形中线为三角形一边的中点与此边对角顶点相连的线段，
已知$AD,BE,CF$是$\triangle ABC$的三条中线，
则$BD=DC,AE=EC,AF=FB$，
$BC=BD+DC=2BD,$无其他条件无法得出$BC=2AD$，
故选项A错误，
$AF=FB,AB=AF+FB$，
所以，$AF= \frac{1}{2}AB$，
故选项B正确，
无法得出$AD=CD$，
故选项C错误，
$BE,CF$为三角形不同的中线，无法得出$BE=CF$，
故选项D错误。

2. 如图所示,已知 AE 是△ABC 的边 BC 上的中线,若 AC = 10 cm,△ABE 的周长比△ACE 的周长少 2 cm,则 AB = cm。

8

∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE。
△ACE的周长=AC+CE+AE，△ABE的周长=AB+BE+AE。
∵△ABE的周长比△ACE的周长少2cm，
∴(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=2cm。
∵CE=BE，AE=AE，
∴AC-AB=2cm。
∵AC=10cm，
∴10-AB=2，解得AB=8cm。

【例 2】 如图所示,若∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,则下列结论中错误的是 ()

A.BD 是△ABC 的角平分线
B.CE 是△BCD 的角平分线
C.∠3 = $\frac{1}{2}$∠ACB
D.CE 是△ABC 的角平分线

D

由∠1=∠2，可知BD平分∠ABC，BD是△ABC的角平分线，A正确；由∠3=∠4，可知CE平分∠BCD，CE是△BCD的角平分线，B正确；∠3=∠4且∠3+∠4=∠ACB，故∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，C正确；CE平分∠BCD而非∠ACB，不是△ABC的角平分线，D错误。