9. 有 $ a $,$ b $ 两根小棒如图所示,现要将 $ a $,$ b $ 两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形,那么下面剪法中,一定能围成三角形的是()

A.$ a $ 小棒任意剪一刀
B.$ b $ 小棒任意剪一刀
C.$ a $ 小棒正中间剪一刀
D.$ b $ 小棒正中间剪一刀
]

D

由图可知，小棒$b$的长度为$6$；小棒$a$是三角形的一边，根据三角形三边关系（两边之差小于第三边），$a$的长度满足$4 - 2 ＜ a ＜ 4 + 2$，即$2 ＜ a ＜ 6$。
要围成三角形，需将一根小棒剪成两段（设长度为$m$、$n$）与另一根小棒（长度为$L$）满足三边关系：$m + n ＞ L$，$m + L ＞ n$，$n + L ＞ m$。
若剪$a$：$m + n = a$，因$a ＜ 6$，则$m + n = a ＜ 6$，无法满足$m + n ＞ b$（$b = 6$），故剪$a$不可能围成三角形，排除A、C。
若剪$b$：$m + n = 6$，需与$a$（$2 ＜ a ＜ 6$）围成三角形。此时需满足$m + a ＞ n$且$n + a ＞ m$。
选项B“任意剪$b$”：若剪得一段极短（如$m = 0.1$，$n = 5.9$），则$m + a = 0.1 + a ＜ 0.1 + 6 = 6.1$，可能小于$n = 5.9$（如$a = 5$时，$0.1 + 5 = 5.1 ＜ 5.9$），不满足条件。
选项D“$b$正中间剪”：剪成$m = n = 3$，三边为$3$、$3$、$a$。因$2 ＜ a ＜ 6$，则$3 + 3 ＞ a$（$6 ＞ a$），且$3 + a ＞ 3$（$a ＞ 0$），均满足三边关系。
综上，只有D一定能围成三角形。

10. 已知三角形的三边长分别为 3,5 和 $ 2x - 1 $,则整数 $ x $ 的最大值为。

$4$

根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形三边长分别为$3$，$5$和$2x - 1$，则$5 - 3\lt 2x - 1\lt 5 + 3$，
即$2\lt 2x - 1\lt 8$，
不等式各项都加$1$可得：$2+1\lt 2x - 1+1\lt 8+1$，
$3\lt 2x\lt 9$，
不等式各项都除以$2$可得：$\frac{3}{2}\lt x\lt \frac{9}{2}$，
即$1.5\lt x\lt 4.5$，
所以整数$x$的最大值为$4$。

11. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”。若 $ \triangle ABC $ 是“倍长三角形”,有两条边的长分别为 2 和 3,则第三条边的长为。

1.5或4

设第三条边的长为$x$。
∵$\triangle ABC$是“倍长三角形”，且已知两边长为2和3，
∴需分情况讨论第三边$x$与已知边的倍长关系：
情况1：$x$与2是倍长关系
若$x = 2×2 = 4$，则三边为2，3，4。
验证：$2+3＞4$，$3+4＞2$，$2+4＞3$，满足三角形三边关系；且4是2的2倍，符合“倍长三角形”定义。
若$2 = 2x$，则$x = 1$，三边为1，2，3。
验证：$1+2=3$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况2：$x$与3是倍长关系
若$x = 2×3 = 6$，则三边为2，3，6。
验证：$2+3=5＜6$，不满足三角形三边关系，舍去。
若$3 = 2x$，则$x = 1.5$，三边为1.5，2，3。
验证：$1.5+2＞3$，$2+3＞1.5$，$1.5+3＞2$，满足三角形三边关系；且3是1.5的2倍，符合“倍长三角形”定义。
情况3：2与3是倍长关系
∵$2×2≠3$且$3×2≠2$，不存在倍长关系，舍去。
综上，$x=1.5$或$x=4$。

12. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边长。
(1)若 $ b $,$ c $ 满足 $ (b - 2)^2 + |c - 3| = 0 $,且 $ a $ 为方程 $ |a - 4| = 2 $ 的解,求 $ \triangle ABC $ 的周长,并判断 $ \triangle ABC $ 的形状；
(2)若 $ a = 5 $,$ b = 2 $,且 $ c $ 为整数,求 $ \triangle ABC $ 周长的最大值和最小值。

(1) 因为$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，且$(b - 2)^2 \geq 0$，$|c - 3| \geq 0$，所以$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$b = 2$，$c = 3$。
方程$|a - 4| = 2$的解为$a - 4 = 2$或$a - 4 = -2$，即$a = 6$或$a = 2$。
当$a = 6$时，$b + c = 2 + 3 = 5 ＜ 6$，不满足三角形三边关系，舍去；
当$a = 2$时，$2 + 2 ＞ 3$，$2 + 3 ＞ 2$，满足三角形三边关系，故$a = 2$。
$\triangle ABC$的周长为$2 + 2 + 3 = 7$，且$a = b = 2$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2) 因为$a = 5$，$b = 2$，根据三角形三边关系，$a - b ＜ c ＜ a + b$，即$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，所以$3 ＜ c ＜ 7$。
因为$c$为整数，所以$c = 4$，$5$，$6$。
周长$= 5 + 2 + c = 7 + c$，当$c = 6$时，周长最大为$7 + 6 = 13$；当$c = 4$时，周长最小为$7 + 4 = 11$。
(1) 周长为$7$，$\triangle ABC$是等腰三角形；(2) 周长最大值为$13$，最小值为$11$。

13. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ m - 2 $,$ 2m + 1 $,8。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形,求 $ \triangle ABC $ 三边的长。

(1) 根据三角形三边关系及边长为正数，得：
$\begin{cases}m - 2 ＞ 0 \\(m - 2) + (2m + 1) ＞ 8 \\(m - 2) + 8 ＞ 2m + 1 \\(2m + 1) + 8 ＞ m - 2\end{cases}$
解得：$3 ＜ m ＜ 5$。
(2) 分情况讨论：
若$m - 2 = 2m + 1$，则$m = -3$（舍去，不在$3 ＜ m ＜ 5$内）；
若$m - 2 = 8$，则$m = 10$（舍去，不在$3 ＜ m ＜ 5$内）；
若$2m + 1 = 8$，则$m = 3.5$（符合$3 ＜ m ＜ 5$）。
此时三边为：$m - 2 = 1.5$，$2m + 1 = 8$，$8$。
(1) $3 ＜ m ＜ 5$；(2) 1.5，8，8。