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勾股定理：直角三角形两条直角边长度的
平方和
等于斜边长度的平方
。如果用$a$,$b和c$分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾
,较长的直角边称为股
,斜边称为弦
。因此,人们把上面的结论称为勾股定理
。答案
平方和 平方 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 勾 股 弦 勾股定理
1. 在直角三角形中,若勾为$3$,股为$4$,则弦为(
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
A
)。A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
A
解析
在直角三角形中，勾为$3$，股为$4$，根据勾股定理$弦^2 = 勾^2 + 股^2$，可得弦$=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
A
A
2. 下列说法正确的是(
A.已知$a$,$b$,$c$是三角形的三边,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C = 90^{\circ}$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
D.在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle B = 90^{\circ}$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
C
)。A.已知$a$,$b$,$c$是三角形的三边,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C = 90^{\circ}$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
D.在$Rt\triangle ABC$中,若$\angle B = 90^{\circ}$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
答案
C
3. 如图,$\angle OAB= \angle OBC= \angle OCD = 90^{\circ}$,$OA = 2$,$AB = BC = CD = 1$,则$OD^{2}= $(
A.$7$
B.$8$
C.$6$
D.$5$
A
)。A.$7$
B.$8$
C.$6$
D.$5$
答案
A
解析
解：以点$O$为原点，$OA$所在直线为$x$轴建立直角坐标系。
$\because \angle OAB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$AB = 1$，
$\therefore$点$A(2,0)$，点$B(2,1)$。
$\because \angle OBC = 90^{\circ}$，$BC = 1$，
$\therefore$点$C(1,1)$。
$\because \angle OCD = 90^{\circ}$，$CD = 1$，
$\therefore$点$D(1,2)$。
$\therefore OD^{2}=1^{2}+2^{2}=5$。
答案：D
$\because \angle OAB = 90^{\circ}$，$OA = 2$，$AB = 1$，
$\therefore$点$A(2,0)$，点$B(2,1)$。
$\because \angle OBC = 90^{\circ}$，$BC = 1$，
$\therefore$点$C(1,1)$。
$\because \angle OCD = 90^{\circ}$，$CD = 1$，
$\therefore$点$D(1,2)$。
$\therefore OD^{2}=1^{2}+2^{2}=5$。
答案：D
4. 已知一个等腰三角形的腰长为$13\ cm$,底边长为$10\ cm$,则这个三角形的面积为
$60\ cm^{2}$
。答案
$60\ cm^{2}$
解析
过等腰三角形顶点作底边的垂线，垂足为底边中点。
底边一半长为：$\frac{10}{2}=5\ cm$
根据勾股定理，高为：$\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\ cm$
面积为：$\frac{1}{2}×10×12=60\ cm^{2}$
$60\ cm^{2}$
底边一半长为：$\frac{10}{2}=5\ cm$
根据勾股定理，高为：$\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\ cm$
面积为：$\frac{1}{2}×10×12=60\ cm^{2}$
$60\ cm^{2}$
5. 如图,以$Rt\triangle ABC$的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边$AB = 3$,则图中阴影部分的面积为
$\frac{9}{2}$
。答案
$\frac{9}{2}$
解析
设等腰直角三角形$ACH$、$BCF$、$ABE$分别以$AC$、$BC$、$AB$为斜边，直角边长分别为$a$、$b$、$c$。
在等腰直角三角形中，斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍，面积为$\frac{1}{2}×(\frac{斜边}{\sqrt{2}})^2=\frac{斜边^2}{4}$。
则阴影部分面积为三个等腰直角三角形面积之和：$\frac{AC^2}{4}+\frac{BC^2}{4}+\frac{AB^2}{4}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，已知$AB = 3$，所以$AC^2 + BC^2 = 9$。
阴影部分面积$=\frac{AC^2 + BC^2 + AB^2}{4}=\frac{9 + 9}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$
在等腰直角三角形中，斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍，面积为$\frac{1}{2}×(\frac{斜边}{\sqrt{2}})^2=\frac{斜边^2}{4}$。
则阴影部分面积为三个等腰直角三角形面积之和：$\frac{AC^2}{4}+\frac{BC^2}{4}+\frac{AB^2}{4}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，已知$AB = 3$，所以$AC^2 + BC^2 = 9$。
阴影部分面积$=\frac{AC^2 + BC^2 + AB^2}{4}=\frac{9 + 9}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$
6. 若一个直角三角形中两直角边长之比为$3:4$,斜边长为$20\ cm$,求这个三角形两直角边的长。
答案
解:因为这个直角三角形中两直角边长之比为3:4,斜边长为20 cm,所以设这个三角形两直角边的长分别为$3x\ cm$和$4x\ cm$,所以$(3x)^{2}+(4x)^{2}=20^{2}$,解得$x=4$,所以$3x=12$,$4x=16$,所以这个三角形两直角边的长分别为12 cm和16 cm。
解析
解:设这个三角形两直角边的长分别为$3x\ cm$和$4x\ cm$。
由勾股定理得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=20^{2}$，
即$9x^{2}+16x^{2}=400$，
$25x^{2}=400$，
$x^{2}=16$，
解得$x = 4$（$x=-4$舍去）。
所以$3x=3×4=12$，$4x=4×4=16$。
这个三角形两直角边的长分别为$12\ cm$和$16\ cm$。
由勾股定理得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=20^{2}$，
即$9x^{2}+16x^{2}=400$，
$25x^{2}=400$，
$x^{2}=16$，
解得$x = 4$（$x=-4$舍去）。
所以$3x=3×4=12$，$4x=4×4=16$。
这个三角形两直角边的长分别为$12\ cm$和$16\ cm$。
