任意画一个三角形,是否一定有外接圆？
任意画一个四边形,是否一定有外接圆？
任意画一个四边形,是否一定有外接圆？
答案
解：任意画一个三角形一定有外接圆，任意画一个四边形不一定有外接圆
例 如图2-20,$\odot O_{1}和\odot O_{2}$都经过A、B两点,经过点A的直线CD与$\odot O_{1}$交于点C,与$\odot O_{2}$交于点D.经过点B的直线EF与$\odot O_{1}$交于点E,与$\odot O_{2}$交于点F.
求证：$CE// DF$.
分析 要说明CE与DF平行,可判断一组同旁内角是否互补.这里的两组同旁内角均有以下两个特点：(1)分别位于两个圆中；(2)均是圆周角.于是连接$\odot O_{1}和\odot O_{2}$都经过的A、B两点,可说明两圆之间角的关系.
证明 连接AB.
∵ 四边形ABEC是$\odot O_{1}$的内接四边形,
$\therefore \angle BAC+\angle E= 180^{\circ }$.
又$\because \angle BAD+\angle BAC= 180^{\circ }$,
$\therefore \angle BAD= \angle E$.
又∵ 四边形ADFB是$\odot O_{2}$的内接四边形,
$\therefore \angle BAD+\angle F= 180^{\circ }$.
$\therefore \angle E+\angle F= 180^{\circ }$.
$\therefore CE// DF$.
说明 两圆都经过两点时,连接这两点——这是一种常见的辅助线的添加方法,它可构成圆内接四边形,从而利用它的性质,说明两圆中有关角的关系.
求证：$CE// DF$.
分析 要说明CE与DF平行,可判断一组同旁内角是否互补.这里的两组同旁内角均有以下两个特点：(1)分别位于两个圆中；(2)均是圆周角.于是连接$\odot O_{1}和\odot O_{2}$都经过的A、B两点,可说明两圆之间角的关系.
证明 连接AB.
∵ 四边形ABEC是$\odot O_{1}$的内接四边形,
$\therefore \angle BAC+\angle E= 180^{\circ }$.
又$\because \angle BAD+\angle BAC= 180^{\circ }$,
$\therefore \angle BAD= \angle E$.
又∵ 四边形ADFB是$\odot O_{2}$的内接四边形,
$\therefore \angle BAD+\angle F= 180^{\circ }$.
$\therefore \angle E+\angle F= 180^{\circ }$.
$\therefore CE// DF$.
说明 两圆都经过两点时,连接这两点——这是一种常见的辅助线的添加方法,它可构成圆内接四边形,从而利用它的性质,说明两圆中有关角的关系.
答案
证明：连接AB.
∵四边形ABEC是$\odot O_{1}$的内接四边形，
$\therefore \angle BAC + \angle E = 180^{\circ}$.
$\because \angle BAD + \angle BAC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle E$.
∵四边形ADFB是$\odot O_{2}$的内接四边形，
$\therefore \angle BAD + \angle F = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle E + \angle F = 180^{\circ}$.
$\therefore CE // DF$.
∵四边形ABEC是$\odot O_{1}$的内接四边形，
$\therefore \angle BAC + \angle E = 180^{\circ}$.
$\because \angle BAD + \angle BAC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle E$.
∵四边形ADFB是$\odot O_{2}$的内接四边形，
$\therefore \angle BAD + \angle F = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle E + \angle F = 180^{\circ}$.
$\therefore CE // DF$.
1. 填空题：
(1)如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,已知$\angle BOD= 100^{\circ }$,则$\angle A= $
(2)在圆内接四边形ABCD中,已知$\angle A= 40^{\circ }$,$\angle B与\angle C$的度数之比是1∶2,则$\angle B= $
(1)如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,已知$\angle BOD= 100^{\circ }$,则$\angle A= $
50
°,$\angle C= $130
°；(2)在圆内接四边形ABCD中,已知$\angle A= 40^{\circ }$,$\angle B与\angle C$的度数之比是1∶2,则$\angle B= $
70
°,$\angle C= $140
°,$\angle D= $110
°.答案
50
130
70
140
110
130
70
140
110
