2. 在圆内接四边形ABCD中,$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$、$\angle D$的度数之比可能是(
A.1∶2∶3∶4
B.4∶3∶2∶1
C.4∶1∶3∶2
D.4∶3∶1∶2
D
).A.1∶2∶3∶4
B.4∶3∶2∶1
C.4∶1∶3∶2
D.4∶3∶1∶2
答案
D
3. 如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,$AB= AC$,$\angle BAC= 70^{\circ }$.求$\angle D$的度数.
答案
解：∵AB=AC，∠BAC=70°
∴∠B=∠ACB= 55°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠D= 180°-∠B =125°
∴∠B=∠ACB= 55°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠D= 180°-∠B =125°
4. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$\angle CBE$是它的一个外角.
求证：$\angle CBE= \angle D$.你能得出一个一般性的结论吗？
求证：$\angle CBE= \angle D$.你能得出一个一般性的结论吗？
答案
证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠D+∠ABC = 180°
∵∠ABC+∠CBE= 180°
∴∠CBE=∠D
一般性的结论：圆内接四边形的任意一个内角的外角和它的对角相等
∴∠D+∠ABC = 180°
∵∠ABC+∠CBE= 180°
∴∠CBE=∠D
一般性的结论：圆内接四边形的任意一个内角的外角和它的对角相等
5. 如图,AD是$\triangle ABC的外角\angle EAC$的平分线,与$\triangle ABC$的外接圆交于点D.
求证：$DB= DC$.
求证：$DB= DC$.
答案
证明：∵ AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠CAD
∵A、D、C、B四点共圆
∴∠EAD=∠DCB
∴∠CAD=∠DCB
由圆周角定理得∠CAD=∠CBD
∴∠DCB=∠DBC
∴DB=DC
∴∠EAD=∠CAD
∵A、D、C、B四点共圆
∴∠EAD=∠DCB
∴∠CAD=∠DCB
由圆周角定理得∠CAD=∠CBD
∴∠DCB=∠DBC
∴DB=DC
6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.以AC为直径的$\odot O$交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证：$\triangle BDE$为等腰三角形.
(2)连接OB,若$OB\perp DE$,求证：$\triangle ABC$是等边三角形.
(1)求证：$\triangle BDE$为等腰三角形.
(2)连接OB,若$OB\perp DE$,求证：$\triangle ABC$是等边三角形.
答案
(1 )证明：∵AB= AC
∴∠B =∠C
∵四边形ADEC是圆内接四边形
∴∠BDE=∠C
∴∠BDE=∠B
∴ED =EB，即△BDE为等腰三角形
(2) ∵OB⊥DE，点O为圆心
∴OB垂直平分线段DE
∴BD=BE
∴ED=EB=BD
∴△BDE为等边三角形
∴∠B= 60°
∴△ABC是等边三角形
∴∠B =∠C
∵四边形ADEC是圆内接四边形
∴∠BDE=∠C
∴∠BDE=∠B
∴ED =EB，即△BDE为等腰三角形
(2) ∵OB⊥DE，点O为圆心
∴OB垂直平分线段DE
∴BD=BE
∴ED=EB=BD
∴△BDE为等边三角形
∴∠B= 60°
∴△ABC是等边三角形
