12. 如图,点 $ A(a,6) $ 是第一象限内正比例函数 $ y = 3x $ 的图象上的一点,$ AB \perp x $ 轴,交直线 $ OB $ 于点 $ B $,$ \triangle OAB $ 的面积为 $ 5 $,求直线 $ OB $ 的函数表达式。

解：将点$A(a,6)$代入$y=3x$，得$6=3a$，
解得$a=2$，所以$A(2,6)$。
设点$B$的坐标为$(2,n)$，可得$AB=6 - n$，
$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}×2AB=\frac{1}{2}×2×(6 - n)=5$，
解得$n=1$，所以$B(2,1)$。
设直线$OB$所对应的函数表达式为$y=kx$，
将$B(2,1)$代入，得$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$，
所以直线$OB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$。

13. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ (0,-2) $,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 $ 3 $,求这个一次函数的关系式。

解：根据已知条件画出一次函数图象的示意图，如图所示的直线$AB$或直线$A'B$。

设直线与$x$轴的交点坐标为$(x,0)$，则$OA = OA' = |x|$，$OB = | - 2| = 2$。
因为$S_{\triangle OAB}=3$，所以$\frac{1}{2}|x|×2=3$，
解得$x = ±3$，所以$A(-3,0)$，$A'(3,0)$。
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,-2)$，所以$b=-2$。
当直线为$AB$时，$-3k - 2 = 0$，解得$k=-\frac{2}{3}$；
当直线为$A'B$时，$3k - 2 = 0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
综上可知，一次函数的关系式为$y=-\frac{2}{3}x - 2$或$y=\frac{2}{3}x - 2$。

例 1 如图,一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发。设慢车行驶的时间为 $x$($h$),两车之间的距离为 $y$($km$),图中的折线表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系。下列说法错误的是()。

A.甲、乙两地相距 $1000$ $km$
B.点 $B$ 表示此时两车相遇
C.快车的速度为 $166\frac{2}{3}$ $km/h$
D.$B - C - D$ 段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
[解答] 由题图知当 $x = 0$ 时,$y = 1000$,即甲、乙两地的距离为 $1000$ $km$,故 A 正确；因为 $y = 0$ 表示两车相遇,所以点 $B$ 表示两车在此时相遇,所用时间是 $4$ $h$,故 B 正确；快车速度为 $\frac{1000}{4} - \frac{1000}{12} = 166\frac{2}{3}$($km/h$),故 C 正确；$B - C - D$ 段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地,慢车继续行驶,慢车共用了 $12$ $h$ 到达甲地,故 D 错误。故选 D。

D

A. 当 $x=0$ 时，$y=1000$，所以甲、乙两地相距 $1000 \ km$，正确。
B. $B$ 点表示 $x=4 \ h$ 时，$y=0$，即两车相遇，正确。
C. 快车速度计算：
慢车速度 $v_{慢} = \frac{1000}{12} = \frac{250}{3} \ km/h$，
两车相遇时，总速度 $v_{总} = \frac{1000}{4} = 250 \ km/h$，
快车速度 $v_{快} = v_{总} - v_{慢} = 250 - \frac{250}{3} = \frac{500}{3} = 166\frac{2}{3} \ km/h$，正确。
D. $B-C-D$ 段表示两车相遇后，快车继续行驶到达乙地，慢车继续行驶到达甲地，并非慢车先加速后减速，错误。