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5. 如图，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC. 求证：EF=BE−CF.
答案
5. 证明：
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
∴EF=BE−CF.
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
∴EF=BE−CF.
解析
【分析】
要证明EF=BE−CF，观察图形可得EF=AF−AE，因此只需证明BE=AF、CF=AE即可，这需要先证明△ABE和△CAF全等。已知AB=AC，可结合已知等角条件和三角形外角性质推导全等所需的角相等条件：首先利用∠1=∠BAC，结合外角性质与角的和差关系推出∠ABE=∠CAF，再由∠1=∠2推出∠AEB=∠CFA，即可用AAS判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等代换线段即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF.
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
又
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE−CF.
【答案】
证明：
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
∴EF=BE−CF.
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 全等三角形AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用类题目，解题核心是通过角的等量转化找到全等三角形的判定条件，借助全等将待证的分散线段转化到同一条线段上，进而证明线段的和差关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要证明EF=BE−CF，观察图形可得EF=AF−AE，因此只需证明BE=AF、CF=AE即可，这需要先证明△ABE和△CAF全等。已知AB=AC，可结合已知等角条件和三角形外角性质推导全等所需的角相等条件：首先利用∠1=∠BAC，结合外角性质与角的和差关系推出∠ABE=∠CAF，再由∠1=∠2推出∠AEB=∠CFA，即可用AAS判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等代换线段即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF.
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
又
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE−CF.
【答案】
证明：
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠AEB=∠CFA，∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，$\begin{cases} ∠AEB=∠CFA, \\ ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，CF=AE，
∴EF=BE−CF.
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 全等三角形AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用类题目，解题核心是通过角的等量转化找到全等三角形的判定条件，借助全等将待证的分散线段转化到同一条线段上，进而证明线段的和差关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
6.（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D. 求证：△AOC≌△BOD. 
答案
6. 证明：在△AOC和△BOD中，$\begin{cases} ∠C=∠D, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
解析
【分析】
要证明△AOC≌△BOD，首先梳理已知条件：题目直接给出了一组边相等AC=BD、一组角相等∠C=∠D；再观察图形，AB与CD交于点O，根据对顶角的性质可得到另一组角相等∠AOC=∠BOD。此时两个三角形满足两个角分别相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等三角形的AAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}∠C=∠D, \\∠AOC=∠BOD, \\AC=BD,\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD（AAS）。
【答案】
证明：在△AOC和△BOD中，$\begin{cases} ∠C=∠D, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
【知识点】
对顶角相等；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题核心是从题干和图形中提取全等判定所需的对应条件，熟练掌握全等三角形的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要证明△AOC≌△BOD，首先梳理已知条件：题目直接给出了一组边相等AC=BD、一组角相等∠C=∠D；再观察图形，AB与CD交于点O，根据对顶角的性质可得到另一组角相等∠AOC=∠BOD。此时两个三角形满足两个角分别相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等三角形的AAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}∠C=∠D, \\∠AOC=∠BOD, \\AC=BD,\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD（AAS）。
【答案】
证明：在△AOC和△BOD中，$\begin{cases} ∠C=∠D, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
【知识点】
对顶角相等；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题核心是从题干和图形中提取全等判定所需的对应条件，熟练掌握全等三角形的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
7. (2025·淮安) 已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B=∠ADE，AC=AE，∠BAD=∠CAE. 求证：△ABC≌△ADE. 
答案
7. 证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，首先梳理已知条件：题目已给出∠B=∠ADE、AC=AE两组对应相等的条件，还缺一组对应相等的条件即可结合全等判定定理证明。观察已知的∠BAD=∠CAE，可通过角的和差运算，给两个等角同时加上公共角∠CAD，推导出∠BAC=∠DAE，此时满足两角及其中一角的对边对应相等的AAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【答案】
证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【知识点】
角的和差性质、全等三角形AAS判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是利用等角加公共角得到全等所需的对应等角，再结合已知条件运用AAS判定定理完成证明，答题时需注意对应角、对应边的顺序书写规范。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△ADE，首先梳理已知条件：题目已给出∠B=∠ADE、AC=AE两组对应相等的条件，还缺一组对应相等的条件即可结合全等判定定理证明。观察已知的∠BAD=∠CAE，可通过角的和差运算，给两个等角同时加上公共角∠CAD，推导出∠BAC=∠DAE，此时满足两角及其中一角的对边对应相等的AAS判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【答案】
证明：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（AAS）。
【知识点】
角的和差性质、全等三角形AAS判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是利用等角加公共角得到全等所需的对应等角，再结合已知条件运用AAS判定定理完成证明，答题时需注意对应角、对应边的顺序书写规范。
【难度系数】
0.8
