7. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为()

A.$0$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$-3$

D

原方程为 $(m - 3)x^{2} + m^{2}x = 9x + 5$，
将其化为一般形式：$(m - 3)x^{2} + (m^{2} - 9)x - 5 = 0$。
由于方程不含一次项，所以一次项系数 $m^{2} - 9 = 0$，
解得 $m = \pm 3$。
由于 $m - 3 \neq 0$，所以 $m \neq 3$，
因此 $m = -3$。

8. (易错题)已知关于$x$的一元二次方程$(a - 7)x^{2}+x+\vert a\vert - 7 = 0$的一个根是$x = 0$，则实数$a$的值为()

A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$

A

根据题意，关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 7)x^{2} + x + |a| - 7 = 0$ 的一个根是 $x = 0$。
将 $x = 0$ 代入方程，得到：
$(a - 7) \cdot 0^{2} + 0 + |a| - 7 = 0$，
化简后得：
$|a| - 7 = 0$，
解这个方程，得到两个可能的 $a = 7$ 或 $a = -7$。
由于 $a - 7 \neq 0$（因为 $a - 7$ 是二次项系数，不能为0），所以 $a \neq 7$。
因此，唯一符合条件的 $a$ 的值是 $-7$。

9. (2024·南充)已知$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为。

-4

因为$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，所以$m^{2}+4m - 1 = 0$，即$m^{2}+4m=1$。
$(m + 5)(m - 1)=m^{2}-m + 5m - 5=m^{2}+4m - 5$，将$m^{2}+4m=1$代入得$1 - 5=-4$。

10. (2023·娄底)若$m$是方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的根，则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$的值为。

6

∵m是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根，∴$m^2 - 2m - 1 = 0$。
∵$m≠0$（若$m=0$，代入方程左边为$-1≠0$），方程两边同除以m得：$m - 2 - \frac{1}{m} = 0$，即$m - \frac{1}{m} = 2$。
∴$m^2 + \frac{1}{m^2} = (m - \frac{1}{m})^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6$。

11. 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式（二次项系数大于$0$），并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）$(x + 4)(x - 3)=12$；
（2）$(x + 2)^{2}-2x(x - 2)=4x + 4$。

（1）
展开方程左边：$(x + 4)(x - 3) = x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$，
移项得到一般形式：$x^2 + x - 12 - 12 = 0$，
即$x^2 + x - 24 = 0$。
二次项系数为$1$，一次项系数为$1$，常数项为$-24$。
（2）
展开方程左边：$(x + 2)^2 - 2x(x - 2) = x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x$，
将右边项移到左边：$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x - 4x - 4 = 0$，
合并同类项得到一般形式：$-x^2 + 4x = 0$，
两边同时乘以$-1$，使二次项系数大于$0$：$x^2 - 4x = 0$。
二次项系数为$1$，一次项系数为$-4$，常数项为$0$。

12. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{m^{2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0$，回答下面的问题：
（1）若方程是一元二次方程，求$m$的值。
（2）若方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解。

（1）
根据一元二次方程定义，方程中未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，所以有：
$\begin{cases}m^{2} + 1 = 2, \\m - 1 \neq 0.\end{cases}$
由$m^{2} + 1 = 2$，解得$m = \pm 1$。
由$m - 1 \neq 0$，得$m \neq 1$。
综上，$m = - 1$。
（2）
若方程为一元一次方程，需要满足以下条件之一：
$m - 1 = 0$且$m-2\neq0$，即 $m = 1$，此时方程化简为$-x - 1 = 0$，
解得$x = -1$；
$m^2+1=1$且$m-1+m-2\neq0$，方程$m^2+1=1$，即$m^2=0$，
解得$m=0$，
此时$m-1+m-2=-3\neq0$，满足条件，
方程化简为$-3x-1=0$，
解得$x=-\frac{1}{3}$；
$m^2+1=0$，此方程无解。
综上所述，$m$ 的值为 $1$或$0$，方程的解分别为$x = - 1$或$x = -\frac{1}{3}$。

13. 若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x + c = 0(a\neq0)$的一个根，设$M = 1 - ac$，$N=(ax_{0}+1)^{2}$，试比较$M$与$N$的大小。

因为$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x + c = 0(a\neq0)$的一个根，则$ax_{0}^{2}+2x_{0}+c = 0$，即$ax_{0}^{2}+2x_{0}=-c$。
$N - M=(ax_{0}+1)^{2}-(1 - ac)$
$=a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+1 - 1 + ac$
$=a(ax_{0}^{2}+2x_{0})+ac$
把$ax_{0}^{2}+2x_{0}=-c$代入上式得：
$N - M=a×(-c)+ac$
$=-ac + ac$
$=0$
所以$M = N$。