1.(2024 贵州中考)某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售,经调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次函数关系,下表是 y 与 x 的几组对应值.

(1)求 y 与 x 的函数解析式;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大?最大利润是多少?
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元,求 m 的值.

解: (1) 设 $ y = kx + b $,
则 $ \left\{\begin{array}{l} 12k + b = 56,\\ 14k + b = 52,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l} k = -2,\\ b = 80,\end{array}\right. $
$ \therefore y = -2x + 80 $;
(2) 设日销售利润为 $ w $ 元, 则 $ w = (x - 10)(-2x + 80) = -2(x - 25)^2 + 450 $.
答: 糖果销售单价定为 25 元时, 所获日销售利润最大, 最大利润是 450 元;
(3) 设赠送后的日所获利润为 $ w' $ 元,
$ w' = (x - 10 - m)(-2x + 80) = -2x^2 + (100 + 2m)x - 800 - 80m $.
由
$ \frac{4×(-2)(-800 - 80m) - (100 + 2m)^2}{4×(-2)} = 392 $, 解得 $ m_1 = 2, m_2 = 58 $.
若 $ m = 58 $, 则售价为 $ x = -\frac{b}{2a} = 54 $ 元, 此时 $ x - 10 - m ＜ 0 $, 故舍去.
$ \therefore m $ 的值为 2.

2.(2024 济宁中考)某商场以每件 80 元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于 100 元,且商场还要完成不少于 220 件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?

解: (1) 由题意, 设一次函数的解析式为 $ y = kx + b $,
则 $ \left\{\begin{array}{l} 100k + b = 300,\\ 120k + b = 200,\end{array}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{array}{l} k = -5,\\ b = 800,\end{array}\right. $
$ \therefore y = -5x + 800 $;
(2) 设商场获得的利润为 $ y $ 元,
则 $ y = (x - 80)(-5x + 800) = -5(x - 120)^2 + 8000 $,
$ \because -5 ＜ 0 $, $ \therefore $ 当 $ x ＜ 120 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
由题意, 得 $ \left\{\begin{array}{l} x \geq 100,\\ -5x + 800 \geq 220,\end{array}\right. $
$ \therefore 100 \leq x \leq 116 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 116 $ 时, 利润最大, 最大值为 7920.
答: 当销售单价为 116 时, 商场获得利润最大, 最大利润是 7920 元.