1. 如图是某月的月历,选择其中的“田字框”部分.
(1)将每个方框部分中的4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么规律?
(2)请利用整式的运算对以上规律加以证明.

解: (1)$6×14 - 7×13 = 84 - 91 = -7$，
$16×24 - 17×23 = 384 - 391 = -7$，由此发现方框部分中的 4 个位置上的数交叉相乘再相减，结果为定值；
(2)设左上方的数为$a$，则另三个数分别为$a + 1$，$a + 7$，$a + 8$，
则$a(a + 8) - (a + 1)(a + 7) = a^{2} + 8a - (a^{2} + 8a + 7) = a^{2} + 8a - a^{2} - 8a - 7 = -7$，
∴每个方框部分中的 4 个位置上的数交叉相乘，再相减，结果为定值.

(1)将中间数字的上、下两数相乘,左上、右下两数相乘,再相减,通过计算后你能发现什么规律?

(2)请用整式的运算对你发现的规律加以证明.

解: (1)$2×16 - 1×17 = 32 - 17 = 15$，$5×19 - 4×20 = 95 - 80 = 15$，由此发现中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，结果为定值 15；
(2)设中间的数为$a$，则上、下两数分别为$a - 7$，$a + 7$，左上、右下两数分别为$a - 8$，$a + 8$，
则$(a - 7)(a + 7) - (a - 8)(a + 8) = a^{2} - 49 - (a^{2} - 64) = a^{2} - 49 - a^{2} + 64 = 15$，
∴中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，结果都为 15.

2. (1)计算下列各式:
①$40×40= $____,$41×39= $____,$45×35= $____;$52×28= $____;
②$50×50= $____,$53×47= $____,$38×62= $____;$66×34= $____;
你发现了什么规律? 请用整式的运算解释你发现的规律;
(2)用10m长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边长有什么关系?

解: (1)①1 600，1 599，1 575，1 456；
②2 500，2 491，2 356，2 244；
设这两个数的和为$2m$，两个数分别为$m - x$和$m + x$. 由题意，得$(m + x)(m - x) = m^{2} - x^{2} ≤ m^{2}$，
由此可知这两数的乘积等于这两数和的一半与这两数差的一半的平方差，当这两数相等时，这两数的积最大；
(2)∵长方形的周长为 10 m，相邻两边之和为定值，根据(1)中发现的规律，知当相邻两边相等时，长方形的面积最大，最大面积为$2.5^{2} = 6.25$.

(1)个位数字是5的两位数平方后,末尾的两位数有什么规律?
(2)如果一个两位数的个位数字为5,十位数字为$n(1\leqslant n\leqslant 9且n$为整数),请你借助整式的运算解释(1)中的规律;
(3)请你用你发现的规律计算$595^{2}$.

解: (1)末尾的两位数总是 25；
(2)由题意，得$(10n + 5)^{2} = 100n^{2} + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$；
(3)$595^{2} = (59×10 + 5)^{2}$
$= 100×59×(59 + 1) + 25$
$= 354 025$.