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教材母题 已知 $ a + b = 5 $,$ a b = 3 $,求 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ 的值。
答案
解：$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b $
$ = 25 - 6 $
$ = 19 $
$ = 25 - 6 $
$ = 19 $
【教材变式 1】已知 $ a - b = 5 $,$ a b = 6 $,则 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = $______。
答案
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【教材变式 2】已知 $ ( x - y ) ^ { 2 } = 2 $,$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $,求 $ x y $ 的值。
答案
解：$ \because ( x - y ) ^ { 2 } = 2 $，
$ \therefore x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x y = 2 $
又 $ \because x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $，
$ \therefore 1 - 2 x y = 2 $，
$ \therefore x y = - \frac { 1 } { 2 } $
$ \therefore x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x y = 2 $
又 $ \because x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $，
$ \therefore 1 - 2 x y = 2 $，
$ \therefore x y = - \frac { 1 } { 2 } $
【教材变式 3】已知 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 $,$ a + b = 5 $,求 $ a b $ 与 $ a - b $ 的值。
答案
解：$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 $，
$ a + b = 5 $，
$ \therefore 2 a b = ( a + b ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = 25 - 13 = 12 $，
$ \therefore a b = 6 $，
$ \therefore ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b $
$ = 13 - 12 $
$ = 1 $，
$ \therefore a - b = \pm 1 $
$ a + b = 5 $，
$ \therefore 2 a b = ( a + b ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = 25 - 13 = 12 $，
$ \therefore a b = 6 $，
$ \therefore ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b $
$ = 13 - 12 $
$ = 1 $，
$ \therefore a - b = \pm 1 $
【教材变式 4】已知 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 5 $,$ a b = 2 $,求 $ a + b $ 与 $ a - b $ 的值。
答案
解：$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 5 $，$ a b = 2 $，
$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) + 2 a b $
$ = 5 + 4 = 9 $，
$ ( a - b ) ^ { 2 } = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - 2 a b $
$ = 5 - 4 = 1 $，
$ \therefore a + b = \pm 3 $，
$ a - b = \pm 1 $
$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) + 2 a b $
$ = 5 + 4 = 9 $，
$ ( a - b ) ^ { 2 } = ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - 2 a b $
$ = 5 - 4 = 1 $，
$ \therefore a + b = \pm 3 $，
$ a - b = \pm 1 $
【教材变式 5】已知 $ a + \frac { 1 } { a } = \sqrt { 6 } $,则 $ a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } $ 的值是______。
答案
4
【教材变式 6】已知 $ a - \frac { 2 } { a } = 4 $,则 $ a ^ { 2 } + \frac { 4 } { a ^ { 2 } } $ 的值是______。
答案
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【教材变式 7】已知 $ a - \frac { 1 } { a } = \sqrt { 5 } $,求下列式子的值。
(1)$ a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } $；(2)$ a + \frac { 1 } { a } $；(3)$ a ^ { 4 } + \frac { 1 } { a ^ { 4 } } $。
(1)$ a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } $；(2)$ a + \frac { 1 } { a } $；(3)$ a ^ { 4 } + \frac { 1 } { a ^ { 4 } } $。
答案
解：(1)$ \because a - \frac { 1 } { a } = \sqrt { 5 } $，
$ \therefore \left( a - \frac { 1 } { a } \right) ^ { 2 } = 5 $，
$ \therefore a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } = 7 $；
(2)$ \because \left( a + \frac { 1 } { a } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + 2 = 9 $，
$ \therefore a + \frac { 1 } { a } = \pm 3 $；
(3)$ a ^ { 4 } + \frac { 1 } { a ^ { 4 } } = \left( a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 $
$ = 7 ^ { 2 } - 2 $
$ = 47 $
$ \therefore \left( a - \frac { 1 } { a } \right) ^ { 2 } = 5 $，
$ \therefore a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } = 7 $；
(2)$ \because \left( a + \frac { 1 } { a } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + 2 = 9 $，
$ \therefore a + \frac { 1 } { a } = \pm 3 $；
(3)$ a ^ { 4 } + \frac { 1 } { a ^ { 4 } } = \left( a ^ { 2 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 $
$ = 7 ^ { 2 } - 2 $
$ = 47 $
