21. 已知$ON\perp GM$于点O,直线CD交ON于点B,点A在射线OM上.
(1)如图①,若$CD\perp AB$于点B,AE平分$\angle OAB$,交CD于点E,交ON于点F,求证:$\angle BEF= \angle BFE$;
(2)如图②,若CD平分$\angle NBA$,OE平分$\angle BOG$交CD于点E,$\angle OAB = 58^{\circ}$,则$\angle OEB$的度数为______;
(3)如图③,若CD平分$\angle NBA$,OE平分$\angle BOG$交CD于点E,BF平分$\angle OBA$交OE反向延长线于点F,在$\triangle BEF$中,如果一个角是另一个角的3倍,请求出$\angle BAO$的度数.

$(1)$ 证明$\angle BEF = \angle BFE$
解：
因为$ON\perp GM$，$CD\perp AB$，所以$\angle GON=\angle CBA = 90^{\circ}$。
则$\angle ABO+\angle BON = 90^{\circ}$，$\angle ABO+\angle BAE=90^{\circ}$，所以$\angle BON=\angle BAE$。
因为$AE$平分$\angle OAB$，所以$\angle BAE=\angle OAE$，则$\angle BON=\angle OAE$。
又因为$\angle BEF=\angle BAE + \angle ABE$，$\angle BFE=\angle BON+\angle OBF$，且$\angle ABE=\angle OBF$（对顶角相等），$\angle BAE=\angle BON$，所以$\angle BEF=\angle BFE$。
$(2)$ 求$\angle OEB$的度数
因为$ON\perp GM$，所以$\angle GON = 90^{\circ}$。
因为$\angle OAB = 58^{\circ}$，所以$\angle NBA=\angle OAB + 90^{\circ}=58^{\circ}+90^{\circ}=148^{\circ}$。
因为$CD$平分$\angle NBA$，所以$\angle NBE=\frac{1}{2}\angle NBA = 74^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle BOG$，$\angle BOG = 90^{\circ}$，所以$\angle EOB = 45^{\circ}$。
根据三角形外角性质$\angle NBE=\angle EOB+\angle OEB$，则$\angle OEB=\angle NBE-\angle EOB=74^{\circ}-45^{\circ}=29^{\circ}$。
$(3)$ 求$\angle BAO$的度数
设$\angle BAO = x$，则$\angle NBA=x + 90^{\circ}$。
因为$CD$平分$\angle NBA$，所以$\angle NBE=\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})$。
因为$OE$平分$\angle BOG$，$\angle BOG = 90^{\circ}$，所以$\angle EOB = 45^{\circ}$。
因为$BF$平分$\angle OBA$，$\angle OBA = 90^{\circ}-x$，所以$\angle OBF=\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)$。
$\angle BEF=\angle EOB+\angle EBO = 45^{\circ}+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})$，$\angle EBF=\angle OBF+\angle EBO=\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ}) = 90^{\circ}$。
当$\angle BEF = 3\angle BFE$时：
$\angle BFE=\angle EOB+\angle OBF=45^{\circ}+\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)$，$\angle BEF = 45^{\circ}+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})$。
由$\angle BEF = 3\angle BFE$可得：
$45^{\circ}+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})=3\left(45^{\circ}+\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)\right)$
$45+\frac{x}{2}+45 = 135+\frac{270}{2}-\frac{3x}{2}$
$\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}=135 + 135-90$
$2x = 180$
$x = 45^{\circ}$。
当$\angle BFE = 3\angle BEF$时：
$45^{\circ}+\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)=3\left(45^{\circ}+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})\right)$
$45 + 45-\frac{x}{2}=135+\frac{3x}{2}+135$
$-\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}=135 + 135-90$
$-2x = 180$（舍去，角度不能为负）。
当$\angle EBF = 3\angle BEF$时：
$90^{\circ}=3\left(45^{\circ}+\frac{1}{2}(x + 90^{\circ})\right)$
$90 = 135+\frac{3x}{2}+135$
$\frac{3x}{2}=-180$（舍去，角度不能为负）。
当$\angle EBF = 3\angle BFE$时：
$90^{\circ}=3\left(45^{\circ}+\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)\right)$
$90 = 135+\frac{270}{2}-\frac{3x}{2}$
$\frac{3x}{2}=135 + 135-90$
$\frac{3x}{2}=180$
$x = 120^{\circ}$（舍去，$\angle BAO$为锐角）。
综上，$(1)$已证$\angle BEF = \angle BFE$；$(2)$$\boldsymbol{29^{\circ}}$；$(3)$$\boldsymbol{45^{\circ}}$。