15. (★★★★)某玩具用品商场采购员要到厂家批发购进甲玩具和乙玩具共 100 个,付款总金额不得超过 11 815 元. 已知厂家两种玩具的批发价和商场的零售价如下表所示,试解答下列问题:
|品名|厂家批发价(元/个)|商场零售价(元/个)|
|甲玩具|130|160|
|乙玩具|100|120|
(1)该采购员最多可购进甲玩具多少个?
(2)若该商场把这 100 个玩具全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于 2 568 元,则采购员至少要购进甲玩具多少个?

【解析】：
(1) 设采购员购进甲玩具$x$个，则购进乙玩具$(100 - x)$个。根据付款总金额不得超过11815元，可列不等式：$130x + 100(100 - x) \leq 11815$，解得$30x + 10000 \leq 11815$，$30x \leq 1815$，$x \leq 60.5$。因为$x$为整数，所以$x$最大取60，即最多可购进甲玩具60个。
(2) 每个甲玩具利润为$160 - 130 = 30$元，每个乙玩具利润为$120 - 100 = 20$元。设购进甲玩具$y$个，则购进乙玩具$(100 - y)$个，总利润为$30y + 20(100 - y)$。根据利润不低于2568元，可列不等式：$30y + 20(100 - y) \geq 2568$，解得$10y + 2000 \geq 2568$，$10y \geq 568$，$y \geq 56.8$。因为$y$为整数，所以$y$最小取57，即至少要购进甲玩具57个。
【答案】：(1)60；(2)57

海滩上有一堆桃子,是两只猴子的共有财产. 猴子性急,有时也很正直. 第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份,于是便把桃子均分为两堆,发现还多一个,便把多余的一个扔进大海,取走自己应得的一份;第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份,猴子总归是猴子,它无法知道伙伴已取走一份,于是第二只猴子又把桃子均分为两堆,发现还多一个,便把多余的一个扔进大海,取走自己应得的一份. 如果原有的桃子数不少于 100,那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢?

解：设原有桃子$x$个，第一只猴子取走$y$个桃子。
第一只猴子分桃：$x=2y+1$，剩余桃子为$y$个。
第二只猴子分桃：$y=2z+1$（$z$为第二只猴子取走的桃子数，$z$为正整数）。
由$y=2z+1$可得$x=2(2z+1)+1=4z+3$。
因为$x\geq100$，所以$4z+3\geq100$，解得$z\geq24.25$，$z$最小取25。
则$y=2×25 + 1=51$。
答：第一只猴子至少可以取走51个桃子。