2. (烟台中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上.若点B的坐标为$(-1,0)$,$∠BCD= 120^{\circ }$,则点D的坐标为()


A.$(2,2)$
B.$(\sqrt {3},2)$
C.$(3,\sqrt {3})$
D.$(2,\sqrt {3})$

D

3. (淮安中考)菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的边长为.

5

4. (盘锦中考)如图,菱形ABCD的边长为4,$∠A= 45^{\circ }$,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径作弧,交于M,N两点,直线MN交AD于点E,连接CE,则CE的长为.

$2\sqrt{6}$

5. (益阳中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①$AB= AD$,②$∠ABC= ∠ADC$中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形的是.(填序号)

①

6. (遂宁中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线EF与BA,DC的延长线分别交于点E,F.
(1)求证：$AE= CF$；
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,BE//DF. ∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,∵$\begin{cases} ∠E = ∠F, \\ ∠AOE = ∠COF, \\ OA = OC, \end{cases}$ ∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE=CF.
(2)请再添加一个条件,使四边形BFDE是菱形,并说明理由.
解:当时,四边形BFDE是菱形,理由:如答图，连接BF,DE,∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,BE//DF. ∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,∵$\begin{cases} ∠E = ∠F, \\ ∠AOE = ∠COF, \\ OA = OC, \end{cases}$ ∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE=CF. (2)解:当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形,理由:如答图，连接BF,DE,∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.

7. (贺州中考)如图,在四边形ABCD中,已知$AD// BC$,$∠C= 90^{\circ }$,$∠ADB= ∠ABD= \frac {1}{2}∠BDC$,DE交BC于点E,过点E作$EF⊥BD$,垂足为F,且$EF= EC$.
(1)求证：四边形ABED是菱形；
证明:∵∠C=90°,∴EC⊥DC.∵EF⊥BD,且EF=EC,∴DE为∠BDC的平分线,∴∠FDE=∠CDE.∵∠ADB=$\frac{1}{2}$∠BDC,∴∠ADB=∠FDE.∵∠ADB=∠ABD,∴∠ABD=∠FDE.∴AB//DE.∵AD//BC,∴四边形ABED是平行四边形,∵∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.∴四边形ABED是菱形.
(2)若$AD= 4$,求$△BED$的面积.
解:由(1)得四边形ABED是菱形，∴DE=BE=AD=4.∵AD//BC,∠C=90°,∴∠ADC=90°.∵∠FDE=∠CDE=∠ADB,∴∠CDE=30°.∴CE=$\frac{1}{2}$DE=2.∴CD = $\sqrt{DE^{2} - CE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$ = $2\sqrt{3}$.∴$S_{△BED}$ = $\frac{1}{2}$BE·CD = $\frac{1}{2}$×4×$2\sqrt{3}$ = .

(1)证明:∵∠C=90°,∴EC⊥DC.∵EF⊥BD,且EF=EC,∴DE为∠BDC的平分线,∴∠FDE=∠CDE.∵∠ADB=$\frac{1}{2}$∠BDC,∴∠ADB=∠FDE.∵∠ADB=∠ABD,∴∠ABD=∠FDE.∴AB//DE.∵AD//BC,∴四边形ABED是平行四边形,∵∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.∴四边形ABED是菱形. (2)解:由(1)得四边形ABED是菱形，∴DE=BE=AD=4.∵AD//BC,∠C=90°,∴∠ADC=90°.∵∠FDE=∠CDE=∠ADB,∴∠CDE=30°.∴CE=$\frac{1}{2}$DE=2.∴CD = $\sqrt{DE^{2} - CE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$ = $2\sqrt{3}$.∴$S_{△BED}$ = $\frac{1}{2}$BE·CD = $\frac{1}{2}$×4×$2\sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}$.