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1. (2024·如东期末)已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，则下列结论中正确的是(
A.$ AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} $
B.$ BC≈0.618AB $
C.$ AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC $
D.$ BC:AC=AC:AB $
D
)A.$ AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} $
B.$ BC≈0.618AB $
C.$ AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC $
D.$ BC:AC=AC:AB $
答案
1. D
2. 在设计人体雕像时，使雕像上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感. 按此比例设计一座高度为 2 m 的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约是(
A.0.73 m
B.1.24 m
C.1.37 m
D.1.42 m
B
)A.0.73 m
B.1.24 m
C.1.37 m
D.1.42 m
答案
2. B
解析
设雕像下部高度为$x$m，则上部高度为$(2 - x)$m。
由题意得$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$，
整理得$x^2 + 2x - 4 = 0$，
解得$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$，
$x_1 = -1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2.236 = 1.236 \approx 1.24$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$（舍去），
故该雕像的下部设计高度约是$1.24$m。
B
由题意得$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$，
整理得$x^2 + 2x - 4 = 0$，
解得$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$，
$x_1 = -1 + \sqrt{5} \approx -1 + 2.236 = 1.236 \approx 1.24$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$（舍去），
故该雕像的下部设计高度约是$1.24$m。
B
3. (2024·姑苏区开学)若线段 $ AB = 8 $ cm，C 是线段 AB 的一个黄金分割点(AC＞BC)，则 AC 的长为
$4(\sqrt{5}-1)$
cm.(结果保留根号)答案
3. $4(\sqrt{5}-1)$
4. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置点 F，因而 $ EF = EB $. 类似地，在 AB 上折出点 M，使 $ AM = AF $. 则 M 是线段 AB 的黄金分割点吗？若是，请你证明；若不是，请说明理由.
答案
4. 解：M是线段AB的黄金分割点.
证明：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴ $BE = 1$，
∴ $AE = \sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{5}$.
∵ $EF = BE = 1$，
∴ $AF = AE - EF = \sqrt{5}-1$，
∴ $AM = AF = \sqrt{5}-1$，
∴ $AM:AB = (\sqrt{5}-1):2$，
∴M是线段AB的黄金分割点.
证明：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴ $BE = 1$，
∴ $AE = \sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{5}$.
∵ $EF = BE = 1$，
∴ $AF = AE - EF = \sqrt{5}-1$，
∴ $AM = AF = \sqrt{5}-1$，
∴ $AM:AB = (\sqrt{5}-1):2$，
∴M是线段AB的黄金分割点.
5. (2024·德阳)宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计. 已知四边形 ABCD 是黄金矩形(AB＜BC)，P 是边 AD 上一点，则满足 $ PB⊥PC $ 的点 P 的个数为(
A.3
B.2
C.1
D.0
D
)A.3
B.2
C.1
D.0
答案
5. D
解析
设黄金矩形$ABCD$中，$BC=a$，则$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。以$BC$为直径作圆，圆心为$BC$中点$O$，半径$r=\frac{a}{2}$。圆心$O$到$AD$的距离$d=AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a\approx0.618a$。因为$d\approx0.618a＞ r=\frac{a}{2}=0.5a$，所以圆与$AD$无交点，满足$PB⊥ PC$的点$P$不存在。
D
D
6. 如图，$△ ABC$中，$ AB = AC $，$ ∠B = 72^{\circ} $，$ ∠ACB $的平分线 CD 交 AB 于点 D，则 D 是线段 AB 的黄金分割点. 若 $ AC = 2 $，则 $ BD = $
$3 - \sqrt{5}$
.答案
6. $3 - \sqrt{5}$
解析
证明：
∵ $AB = AC = 2$，$∠ B = 72°$，
∴ $∠ ACB = ∠ B = 72°$，$∠ A = 180° - 2 × 72° = 36°$。
∵ $CD$ 平分 $∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2} ∠ ACB = 36°$。
∴ $∠ ACD = ∠ A = 36°$，$∠ CDB = ∠ A + ∠ ACD = 72° = ∠ B$。
∴ $AD = CD$，$CD = BC$，故 $AD = BC$。
设 $AD = x$，则 $BD = AB - AD = 2 - x$，$BC = x$。
∵ $∠ A = ∠ BCD = 36°$，$∠ B = ∠ B$，
∴ $△ ABC ∼ △ CBD$。
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD}$，即 $\frac{2}{x} = \frac{x}{2 - x}$。
整理得 $x^2 + 2x - 4 = 0$，解得 $x = -1 + \sqrt{5}$（负值舍去）。
∴ $BD = 2 - x = 2 - (-1 + \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5}$。
$3 - \sqrt{5}$
∵ $AB = AC = 2$，$∠ B = 72°$，
∴ $∠ ACB = ∠ B = 72°$，$∠ A = 180° - 2 × 72° = 36°$。
∵ $CD$ 平分 $∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2} ∠ ACB = 36°$。
∴ $∠ ACD = ∠ A = 36°$，$∠ CDB = ∠ A + ∠ ACD = 72° = ∠ B$。
∴ $AD = CD$，$CD = BC$，故 $AD = BC$。
设 $AD = x$，则 $BD = AB - AD = 2 - x$，$BC = x$。
∵ $∠ A = ∠ BCD = 36°$，$∠ B = ∠ B$，
∴ $△ ABC ∼ △ CBD$。
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD}$，即 $\frac{2}{x} = \frac{x}{2 - x}$。
整理得 $x^2 + 2x - 4 = 0$，解得 $x = -1 + \sqrt{5}$（负值舍去）。
∴ $BD = 2 - x = 2 - (-1 + \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5}$。
$3 - \sqrt{5}$
7. (2024·江阴月考)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感. 某女士身高 157 cm，下半身长为 94 cm，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为
8
cm.(精确到 1 cm)答案
7. 8
解析
设她应穿的高跟鞋的高度为$x$cm。
根据题意，得$\frac{94 + x}{157 + x} = 0.618$
$94 + x = 0.618×(157 + x)$
$94 + x = 0.618×157 + 0.618x$
$94 + x = 97.026 + 0.618x$
$x - 0.618x = 97.026 - 94$
$0.382x = 3.026$
$x \approx 8$
8
根据题意，得$\frac{94 + x}{157 + x} = 0.618$
$94 + x = 0.618×(157 + x)$
$94 + x = 0.618×157 + 0.618x$
$94 + x = 97.026 + 0.618x$
$x - 0.618x = 97.026 - 94$
$0.382x = 3.026$
$x \approx 8$
8
