1. 若抛物线 $ y = x ^ { 2 } + m x $ 的对称轴是直线 $ x = 3 $，则关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + m x = 7 $ 的解为()

A.$ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = 6 $
B.$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 7 $
C.$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = - 7 $
D.$ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = 7 $

1. D

解：对于抛物线$y = x^2 + mx$，其对称轴为$x = -\frac{m}{2}$。
已知对称轴是直线$x = 3$，则$-\frac{m}{2}=3$，解得$m=-6$。
方程$x^2 + mx = 7$可化为$x^2 - 6x - 7 = 0$。
因式分解得$(x - 7)(x + 1)=0$，解得$x_1 = 7$，$x_2=-1$。
D

2. 若抛物线 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点间的距离为 4，对称轴为直线 $ x = 2 $，$ P $ 为这条抛物线的顶点，则点 $ P $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标是()

A.$ ( 2, 4 ) $
B.$ ( - 2, 4 ) $
C.$ ( - 2, - 4 ) $
D.$ ( 2, - 4 ) $

2. A

∵抛物线对称轴为直线$x=2$，与$x$轴两交点距离为4，
∴两交点坐标为$(0,0)$，$(4,0)$。
设抛物线解析式为$y=(x-0)(x-4)=x^2 - 4x$，
则$b=-4$，$c=0$，抛物线为$y=x^2 - 4x$。
化为顶点式：$y=(x - 2)^2 - 4$，顶点$P(2,-4)$。
点$P$关于$x$轴对称点坐标为$(2,4)$。
A

3. (2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标为 $ ( 3, 0 ) $，若点 $ C ( 2, 3 ) $ 在抛物线上，则 $ AB $ 的长为.

3. 4

解：将点$B(3,0)$，$C(2,3)$代入$y=ax^{2}+bx+3$，得
$\begin{cases}9a + 3b + 3 = 0 \\4a + 2b + 3 = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=2\end{cases}$
$\therefore$抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x+3$
令$y=0$，则$-x^{2}+2x+3=0$
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$
$\therefore AB=3 - (-1)=4$

4. (2024·济宁)将抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 12 $ 向下平移 $ k $ 个单位长度. 若平移后得到的抛物线与 $ x $ 轴有公共点，则 $ k $ 的取值范围是.

4. $ k ≥ 3 $

将抛物线$y = x^2 - 6x + 12$向下平移$k$个单位长度，得到的新抛物线解析式为$y = x^2 - 6x + 12 - k$。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a ≠ 0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ≥ 0$时，抛物线与$x$轴有公共点。
在新抛物线$y = x^2 - 6x + 12 - k$中，$a = 1$，$b = -6$，$c = 12 - k$，则判别式$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (12 - k)$。
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta&=36 - 4(12 - k)\\&=36 - 48 + 4k\\&=4k - 12\end{aligned}$
因为平移后抛物线与$x$轴有公共点，所以$\Delta ≥ 0$，即：
$4k - 12 ≥ 0$
解得：
$4k ≥ 12 \implies k ≥ 3$
$k ≥ 3$

5. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + m x + m ^ { 2 } - 3 $（$ m $ 为常数，$ m ＞ 0 $）的图像经过点 $ P ( 2, 4 ) $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 判断二次函数 $ y = x ^ { 2 } + m x + m ^ { 2 } - 3 $ 的图像与 $ x $ 轴交点的个数，并说明理由.

5. 解：(1)将$(2,4)$代入$ y = x^{2} + mx + m^{2} - 3 $，
得$ 4 = 4 + 2m + m^{2} - 3 $，解得$ m_{1} = 1 $，$ m_{2} = - 3 $。
又$ \because m ＞ 0 $，$ \therefore m = 1 $。
(2)$ \because m = 1 $，$ \therefore y = x^{2} + x - 2 $。
$ \because b^{2} - 4ac = 1^{2} + 8 = 9 ＞ 0 $，
$ \therefore $二次函数的图像与$ x $轴有2个交点。

6. (2024·栖霞区期末)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + k = 0 $ 的一个根为 2，则二次函数 $ y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } + k $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为()

A.$ ( - 3, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $
B.$ ( - 2, 0 ) $，$ ( 2, 0 ) $
C.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $

6. A

∵关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+k=0$的一个根为$2$，
$\therefore a×2^{2}+k=0$，即$4a + k = 0$，$k=-4a$。
对于二次函数$y = a(x + 1)^{2}+k$，令$y = 0$，
则$a(x + 1)^{2}+k=0$，将$k=-4a$代入得：
$a(x + 1)^{2}-4a=0$，
$\because a≠0$，方程两边同时除以$a$得：
$(x + 1)^{2}-4=0$，
$(x + 1)^{2}=4$，
$x + 1=\pm2$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$，
$\therefore$二次函数$y = a(x + 1)^{2}+k$与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$，$(1,0)$。
A

7. (2023·宁波)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - ( 3 a + 1 ) x + 3 $，下列说法正确的是()

A.点 $ ( 1, 2 ) $ 在该函数的图像上
B.当 $ a = 1 $ 且 $ - 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，$ 0 ≤ y ≤ 8 $
C.该函数的图像与 $ x $ 轴一定有交点
D.当 $ a ＞ 0 $ 时，该函数图像的对称轴一定在直线 $ x = \frac { 3 } { 2 } $ 的左侧

7. C

A. 当$x=1$时，$y=a-(3a+1)+3=-2a+2$，若$a=0$，$y=2$；若$a≠0$，$y≠2$，故A错误。
B. 当$a=1$时，$y=x^2 - 4x + 3=(x - 2)^2 - 1$，对称轴$x=2$，在$-1≤ x≤3$上，$x=-1$时$y=8$，$x=2$时$y=-1$，则$-1≤ y≤8$，故B错误。
C. $\Delta=(3a + 1)^2 - 12a=9a^2 - 6a + 1=(3a - 1)^2≥0$，函数图像与$x$轴一定有交点，故C正确。
D. 对称轴$x=\frac{3a + 1}{2a}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2a}$，当$a＞0$时，$\frac{1}{2a}＞0$，则$x＞\frac{3}{2}$，故D错误。
C

8. (2023·自贡)经过 $ A ( 2 - 3 b, m ) $，$ B ( 4 b + c - 1, m ) $ 两点的抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x - b ^ { 2 } + 2 c $($ x $ 为自变量)与 $ x $ 轴有交点，则线段 $ AB $ 的长为()

A.10
B.12
C.13
D.15

8. B

∵点$A(2 - 3b, m)$，$B(4b + c - 1, m)$在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + bx - b^2 + 2c$上，且纵坐标相同，
∴抛物线对称轴为直线$x = \frac{(2 - 3b) + (4b + c - 1)}{2} = \frac{b + c + 1}{2}$。
又抛物线对称轴为$x = -\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})} = b$，
∴$\frac{b + c + 1}{2} = b$，化简得$c = b - 1$。
∵抛物线与$x$轴有交点，
∴$\Delta = b^2 - 4×(-\frac{1}{2})×(-b^2 + 2c) ≥ 0$，
将$c = b - 1$代入得：
$b^2 - 2(-b^2 + 2(b - 1)) ≥ 0$，
$b^2 + 2b^2 - 4b + 4 ≥ 0$，
$3b^2 - 4b + 4 ≥ 0$，
$3(b - \frac{2}{3})^2 + \frac{8}{3} ≥ 0$，恒成立。
$AB = |(4b + c - 1) - (2 - 3b)| = |7b + c - 3|$，
将$c = b - 1$代入得：
$AB = |7b + (b - 1) - 3| = |8b - 4|$。
又抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + bx - b^2 + 2(b - 1) = -\frac{1}{2}x^2 + bx - b^2 + 2b - 2$，
令$y = 0$，$-\frac{1}{2}x^2 + bx - b^2 + 2b - 2 = 0$，
$x^2 - 2bx + 2b^2 - 4b + 4 = 0$，
$\Delta = 4b^2 - 4(2b^2 - 4b + 4) = -4b^2 + 16b - 16 = -4(b - 2)^2 ≥ 0$，
∴$(b - 2)^2 = 0$，$b = 2$。
则$AB = |8×2 - 4| = 12$。
12