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三、解答题
10. 把 $ (\sin α)^{2} $ 记作 $ \sin^{2} α $，根据图①和图②解答下列各题。
(1) 如图①，$ \sin^{2} A_{1} + \cos^{2} A_{1} = $
(2) 观察上述等式猜想：在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，总有 $ \sin^{2} A + \cos^{2} A = $
(3) 如图②，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中证明(2)中的猜想；
(4) 已知在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A + ∠ B = 90^{\circ} $，且 $ \sin A = \dfrac{12}{13} $，求 $ \cos A $ 的值。
10. 把 $ (\sin α)^{2} $ 记作 $ \sin^{2} α $，根据图①和图②解答下列各题。
(1) 如图①，$ \sin^{2} A_{1} + \cos^{2} A_{1} = $
1
，$ \sin^{2} A_{2} + \cos^{2} A_{2} = $1
，$ \sin^{2} A_{3} + \cos^{2} A_{3} = $1
；(2) 观察上述等式猜想：在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，总有 $ \sin^{2} A + \cos^{2} A = $
1
；(3) 如图②，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中证明(2)中的猜想；
(4) 已知在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A + ∠ B = 90^{\circ} $，且 $ \sin A = \dfrac{12}{13} $，求 $ \cos A $ 的值。
答案
10. (1) 1 1 1 (2) 1
(3) 证明: 在题图②中,
∵sinA=$\frac{a}{c}$,cosA=$\frac{b}{c}$,且a²+b²=c²,
则sin²A+cos²A=($\frac{a}{c}$)²+($\frac{b}{c}$)²=$\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$,即sin²A+cos²A=1.
(4) 解: 在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°.
∵sin²A+cos²A=1,
∴($\frac{12}{13}$)²+cos²A=1,解得cosA=$\frac{5}{13}$或cosA=−$\frac{5}{13}$(舍去),
∴cosA=$\frac{5}{13}$
(3) 证明: 在题图②中,
∵sinA=$\frac{a}{c}$,cosA=$\frac{b}{c}$,且a²+b²=c²,
则sin²A+cos²A=($\frac{a}{c}$)²+($\frac{b}{c}$)²=$\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$,即sin²A+cos²A=1.
(4) 解: 在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°.
∵sin²A+cos²A=1,
∴($\frac{12}{13}$)²+cos²A=1,解得cosA=$\frac{5}{13}$或cosA=−$\frac{5}{13}$(舍去),
∴cosA=$\frac{5}{13}$
11. (2024·河北)某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 $ P $ 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 $ BQ = 4 \mathrm{ m} $，仰角为 $ α $；淇淇向前走了 $ 3 \mathrm{ m} $ 后到达点 $ D $，透过点 $ P $ 恰好看到月亮，仰角为 $ β $，如图是示意图。已知，淇淇的眼睛与水平地面 $ BQ $ 的距离 $ AB = CD = 1.6 \mathrm{ m} $，点 $ P $ 到 $ BQ $ 的距离 $ PQ = 2.6 \mathrm{ m} $，$ AC $ 的延长线交 $ PQ $ 于点 $ E $。（注：图中所有点均在同一平面）
求：(1) $ β $ 的大小及 $ \tan α $ 的值；
(2) $ CP $ 的长及 $ \sin ∠ APC $ 的值。
求：(1) $ β $ 的大小及 $ \tan α $ 的值；
(2) $ CP $ 的长及 $ \sin ∠ APC $ 的值。
答案
11. 解: (1) 由题意,可得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m,
∴CE=4 - 3 = 1(m),PE=2.6 - 1.6 = 1(m),
∠CEP=90°.
∴CE=PE,
∴β=∠PCE=45°,tanα=tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{4}$.
(2)
∵CE=PE=1m,∠CEP=90°,
∴CP=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{2}$(m).
如答图，过点C作CH⊥AP于点H,
∵tanα=tan∠PAE=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{4}$,设CH=xm,
则AH=4xm,
∴x²+(4x)²=AC²=9,
解得x=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$,
∴CH=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$m,
∴sin∠APC=$\frac{CH}{CP}$=$\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$.
12. (2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献。为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形 $ PQMN $ 充电站的平面示意图，矩形 $ ABCD $ 是其中一个停车位。经测量，$ ∠ ABQ = 60^{\circ} $，$ AB = 5.4 \mathrm{ m} $，$ CE = 1.6 \mathrm{ m} $，$ GH ⊥ CD $，$ GH $ 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定。
根据以上信息解答下列问题：（结果精确到 $ 0.1 \mathrm{ m} $，参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $）
(1) 求 $ PQ $ 的长；
(2) 该充电站有 $ 20 $ 个停车位，求 $ PN $ 的长。
根据以上信息解答下列问题：（结果精确到 $ 0.1 \mathrm{ m} $，参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $）
(1) 求 $ PQ $ 的长；
(2) 该充电站有 $ 20 $ 个停车位，求 $ PN $ 的长。
答案
(1)
∵四边形PQMN是矩形,
∴∠Q=∠P=90°,
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4m,
∴AQ=AB·sin∠ABQ=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$m,∠QAB=30°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
∴BC=$\frac{CE}{\tan ∠ CBE}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m,
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m.
∵∠PAD=180° - 30° - 90° = 60°,
∴AP=AD·cos∠PAD=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$m,
∴PQ=AP+AQ=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈6.1(m).
(2) 在Rt△BCE中,BE=$\frac{CE}{\sin ∠ CBE}$=3.2m,
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m.
∵该充电站有20个停车位,
∴QM=QB+20BE=66.7m.
∵四边形PQMN是矩形,
∴PN=QM=66.7m.
∵四边形PQMN是矩形,
∴∠Q=∠P=90°,
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4m,
∴AQ=AB·sin∠ABQ=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$m,∠QAB=30°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
∴BC=$\frac{CE}{\tan ∠ CBE}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m,
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m.
∵∠PAD=180° - 30° - 90° = 60°,
∴AP=AD·cos∠PAD=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$m,
∴PQ=AP+AQ=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈6.1(m).
(2) 在Rt△BCE中,BE=$\frac{CE}{\sin ∠ CBE}$=3.2m,
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m.
∵该充电站有20个停车位,
∴QM=QB+20BE=66.7m.
∵四边形PQMN是矩形,
∴PN=QM=66.7m.
