中国空间站在距离地球表面约390 km的轨道上运行(图7-25).当中国空间站运行到地球表面点P的正上方点F时,从中国空间站上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 在地球表面,此最远点与点P的距离是多少米(地球半径约为6 400 km,$π$取3.14,精确到0.1 km)?
答案
解：
设地球球心为$ O $，连接$ OQ $、$ OP $，由题意可知$ FQ $是$ \odot O $的切线，
根据切线的性质，得$ OQ ⊥ FQ $，即$ ∠ OQF = 90° $。
已知地球半径$ OQ = OP = 6400\ \mathrm{km} $，$ OF = OP + PF = 6400 + 390 = 6790\ \mathrm{km} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OFQ $中，
$ \cosα = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6790} \approx 0.9426 $，
求得$ α \approx 19.4° $。
根据弧长公式，弧$ PQ $的长度为：
$ l = \frac{nπ r}{180} = \frac{19.4 × 3.14 × 6400}{180} \approx 2163.0\ \mathrm{km} = 2163000\ \mathrm{米} $。
答：从中国空间站上能直接看到的地球表面最远的点是过点$ F $作地球切线的切点$ Q $；此最远点与点$ P $的距离约为2163000米。
设地球球心为$ O $，连接$ OQ $、$ OP $，由题意可知$ FQ $是$ \odot O $的切线，
根据切线的性质，得$ OQ ⊥ FQ $，即$ ∠ OQF = 90° $。
已知地球半径$ OQ = OP = 6400\ \mathrm{km} $，$ OF = OP + PF = 6400 + 390 = 6790\ \mathrm{km} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OFQ $中，
$ \cosα = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6790} \approx 0.9426 $，
求得$ α \approx 19.4° $。
根据弧长公式，弧$ PQ $的长度为：
$ l = \frac{nπ r}{180} = \frac{19.4 × 3.14 × 6400}{180} \approx 2163.0\ \mathrm{km} = 2163000\ \mathrm{米} $。
答：从中国空间站上能直接看到的地球表面最远的点是过点$ F $作地球切线的切点$ Q $；此最远点与点$ P $的距离约为2163000米。
例1 如图7-26,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.若秋千向两边摆动时最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为$53°$,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少米(参考数据:$\sin 53° \approx 0.8$,$\cos 53° \approx 0.6$)?
解 设秋千链子的上端固定于A处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.
过点A、B的铅垂线分别为AD、BE,点D、E在地面上,过点B作$BC\bot AD$,垂足为C.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$\because AB=3$, $∠ CAB=53°$,
$\therefore AC=AB· \cos 53° \approx 3× 0.6=1.8$.
$\therefore CD\approx 3+0.5-1.8=1.7$.
$\therefore BE=CD\approx 1.7$,
即秋千踏板与地面的最大距离约为1.7 m.
解 设秋千链子的上端固定于A处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.
过点A、B的铅垂线分别为AD、BE,点D、E在地面上,过点B作$BC\bot AD$,垂足为C.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$\because AB=3$, $∠ CAB=53°$,
$\therefore AC=AB· \cos 53° \approx 3× 0.6=1.8$.
$\therefore CD\approx 3+0.5-1.8=1.7$.
$\therefore BE=CD\approx 1.7$,
即秋千踏板与地面的最大距离约为1.7 m.
答案
解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处。
过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过点B作$BC\bot AD$，垂足为C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\because AB=3$，$∠ CAB=53°$，
$\therefore AC=AB· \cos 53° \approx 3× 0.6=1.8$。
$\therefore CD=(3+0.5)-1.8=1.7$。
$\because BE=CD$，
$\therefore BE\approx 1.7$。
答：秋千踏板与地面的最大距离约为1.7米。
过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过点B作$BC\bot AD$，垂足为C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\because AB=3$，$∠ CAB=53°$，
$\therefore AC=AB· \cos 53° \approx 3× 0.6=1.8$。
$\therefore CD=(3+0.5)-1.8=1.7$。
$\because BE=CD$，
$\therefore BE\approx 1.7$。
答：秋千踏板与地面的最大距离约为1.7米。
例2 如图7-27,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得$∠ ABC=60°$, $∠ ACB=45°$,量得BC长为30 m.
(1) 求河的宽度(即求$△ ABC$中边BC上的高);
(2) 请再设计两种测量河的宽度的方案.
分析 如图7-28,要求河的宽度,即求$\mathrm{Rt}△ ABC$中边BC上的高,因此作$AD\bot BC$,垂足为D,AD是$\mathrm{Rt}△ ABD$与$\mathrm{Rt}△ ACD$的一条公共的直角边.所以可以分别在这两个直角三角形中运用三角函数和方程的有关知识解决.
解 (1)作$AD\bot BC$,垂足为D.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,设$AD=x\ \mathrm{m}$.
$\because \tan B=\dfrac{AD}{BD}$,
$\therefore BD=\dfrac{x}{\tan 60°}$.
同理$CD=\dfrac{x}{\tan 45°}$.
$\because BC=BD+CD$,
$\therefore \dfrac{x}{\tan 60°}+\dfrac{x}{\tan 45°}=30$.
$\therefore x=\dfrac{30\tan 60°\tan 45°}{\tan 60°+\tan 45°} \approx 19$,
即河的宽度约是19 m.
(2)方案一:如图7-29①,可在河岸边先选取一点B,使AB垂直于河岸,再在同侧河岸边另选一点C,测出$∠ ACB$的大小和BC的长度,即可求出河宽AB.方案二:如图7-29②,可在河岸边先选取一点B,使AB垂直于河岸,在同侧河岸边另选两点C、D,使BC=CD,再在空旷地上找到一点E,使$ED\bot BD$,且点A、C、E在一条直线上,此时测出DE的长就是河宽AB.
说明 在解答测量物体的高度、河的宽度等问题时,要学会综合运用直角三角形的边角关系、全等三角形、方程等有关知识,合理利用现有的条件考虑方案的设计.本题还可以有其他的方案.
(1) 求河的宽度(即求$△ ABC$中边BC上的高);
(2) 请再设计两种测量河的宽度的方案.
分析 如图7-28,要求河的宽度,即求$\mathrm{Rt}△ ABC$中边BC上的高,因此作$AD\bot BC$,垂足为D,AD是$\mathrm{Rt}△ ABD$与$\mathrm{Rt}△ ACD$的一条公共的直角边.所以可以分别在这两个直角三角形中运用三角函数和方程的有关知识解决.
解 (1)作$AD\bot BC$,垂足为D.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,设$AD=x\ \mathrm{m}$.
$\because \tan B=\dfrac{AD}{BD}$,
$\therefore BD=\dfrac{x}{\tan 60°}$.
同理$CD=\dfrac{x}{\tan 45°}$.
$\because BC=BD+CD$,
$\therefore \dfrac{x}{\tan 60°}+\dfrac{x}{\tan 45°}=30$.
$\therefore x=\dfrac{30\tan 60°\tan 45°}{\tan 60°+\tan 45°} \approx 19$,
即河的宽度约是19 m.
(2)方案一:如图7-29①,可在河岸边先选取一点B,使AB垂直于河岸,再在同侧河岸边另选一点C,测出$∠ ACB$的大小和BC的长度,即可求出河宽AB.方案二:如图7-29②,可在河岸边先选取一点B,使AB垂直于河岸,在同侧河岸边另选两点C、D,使BC=CD,再在空旷地上找到一点E,使$ED\bot BD$,且点A、C、E在一条直线上,此时测出DE的长就是河宽AB.
说明 在解答测量物体的高度、河的宽度等问题时,要学会综合运用直角三角形的边角关系、全等三角形、方程等有关知识,合理利用现有的条件考虑方案的设计.本题还可以有其他的方案.
答案
解：
(1) 作$AD\bot BC$，垂足为$D$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，设$AD=x\ \mathrm{m}$。
$\because \tan B=\dfrac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\dfrac{x}{\tan 60°}$。
同理$CD=\dfrac{x}{\tan 45°}$。
$\because BC=BD+CD$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan 60°}+\dfrac{x}{\tan 45°}=30$。
$\therefore x=\dfrac{30\tan 60°\tan 45°}{\tan 60°+\tan 45°}=\dfrac{30×\sqrt{3}×1}{\sqrt{3}+1}=45-15\sqrt{3}\approx19$。
即河的宽度约是$19\ \mathrm{m}$。
(2) 方案一：在河岸边先选取一点$B$，使$AB$垂直于河岸，再在同侧河岸边另选一点$C$，测出$∠ ACB$的大小和$BC$的长度，利用锐角三角函数即可求出河宽$AB$。
方案二：在河岸边先选取一点$B$，使$AB$垂直于河岸，在同侧河岸边另选两点$C$、$D$，使$BC=CD$，再在空旷地上找到一点$E$，使$ED\bot BD$，且点$A$、$C$、$E$在一条直线上，此时测出$DE$的长就是河宽$AB$。
(1) 作$AD\bot BC$，垂足为$D$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，设$AD=x\ \mathrm{m}$。
$\because \tan B=\dfrac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\dfrac{x}{\tan 60°}$。
同理$CD=\dfrac{x}{\tan 45°}$。
$\because BC=BD+CD$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan 60°}+\dfrac{x}{\tan 45°}=30$。
$\therefore x=\dfrac{30\tan 60°\tan 45°}{\tan 60°+\tan 45°}=\dfrac{30×\sqrt{3}×1}{\sqrt{3}+1}=45-15\sqrt{3}\approx19$。
即河的宽度约是$19\ \mathrm{m}$。
(2) 方案一：在河岸边先选取一点$B$，使$AB$垂直于河岸，再在同侧河岸边另选一点$C$，测出$∠ ACB$的大小和$BC$的长度，利用锐角三角函数即可求出河宽$AB$。
方案二：在河岸边先选取一点$B$，使$AB$垂直于河岸，在同侧河岸边另选两点$C$、$D$，使$BC=CD$，再在空旷地上找到一点$E$，使$ED\bot BD$，且点$A$、$C$、$E$在一条直线上，此时测出$DE$的长就是河宽$AB$。
