【例4】
如图所示,$MN,EF$表示两面互相平行
的镜子.一束光线$AB$照射到镜面$MN$上,
反射光线为$BC$,此时$∠1=∠2$.光线$BC$经
过镜面$EF$反射后的光线为$CD$,此时$∠3=$
$∠4$.试判断$AB$与$CD$的位置关系,并说明
理由.

解:

解:$AB// CD$.理由如下:
因为$MN// EF,$
所以$∠2=∠3$(两直线平行,内错角相等).
因为$∠1=∠2,∠2=∠3,∠3=∠4,$
所以$∠1+∠2=∠3+∠4.$
因为$∠1+∠ABC+∠2=180^{\circ },∠3+∠BCD+∠4=180^{\circ },$
所以$∠ABC=∠BCD,$
所以$AB// CD$(内错角相等,两直线平行).

5.如图所示,两个景区之间建立了一段观光索
道,索道支撑架$AM,BP,CN$互相平行,假
设每两个支撑架之间的索道均是直的,若
$∠MAB=65°,∠NCB=55°$,则$∠ABC=$
()


A.$110°$
B.$115°$
C.$120°$
D.$125°$

5. C

6.一款长臂折叠LED护眼灯如图所示,$EF$与
底座$MN$垂直,当发光的灯管$AB$恰好与底
座$MN$平行时,$∠DEF=120°,∠BCD=$
$110°$,则$∠CDE$的度数为$°.$

6. 100

综合与实践——知识建构与应用
三角尺和平行线的数学思考
在综合与实践活动中,数学兴趣小组进行
了关于三角尺与平行线的探究活动.
【知识准备】
如图,在下列判断中,正确的是.
(填序号)

①若$∠A=∠3$,则$AB// DF$.
②若$∠4+∠2=180°$,则$AC// DE$.
③若$AB// DF$,则$∠3=∠4$.
④若$AC// DE$,则$∠A=∠1$.
【操作探究】
兴趣小组将一副三角尺按如图所示的方式
放置,使三角尺$ADE$的直角顶点$E$落在$BC$
上,已知$∠DAE=60°,∠B=∠C=45°$,且
$AD// BC$,则$∠CAE=$$°.$

【拓展探究】
(1)如图①,兴趣小组将一个三角尺$ABC$(其中
$∠B=∠ACB=45°$)放在一组直线$MN$与$PQ$
之间,并使直角顶点$A$在直线$MN$上,顶点$C$
在直线$PQ$上,现测得$∠MAB=35°,∠PCB=$
$10°$,则直线$MN$与$PQ$是否平行?请说明
理由.
(2)兴趣小组又将三角尺$ABC$(其中$∠B=$
$∠ACB=45°$)按图②方式摆放,使顶点$C$在直
线$MN$上,直角顶点$A$在直线$PQ$上,若
$MN// PQ$,请写出$∠PAB$与$∠MCA$之间的
数量关系式,并说明理由.

解:[知识准备]①②④
[操作探究]75
[拓展探究](1)$MN// PQ$.理由如下:
因为$∠MAB=35^{\circ },∠BAC=90^{\circ },$
所以$∠MAC=35^{\circ }+90^{\circ }=125^{\circ }.$
因为$∠PCB=10^{\circ },∠ACB=45^{\circ },$
所以$∠ACP=10^{\circ }+45^{\circ }=55^{\circ },$
所以$∠MAC+∠ACP=125^{\circ }+55^{\circ }=180^{\circ },$
所以$MN// PQ.$
(2)$∠PAB=90^{\circ }+∠MCA$.理由如下:
因为$MN// PQ,$
所以$∠MCA=∠CAQ.$
因为$∠BAC=90^{\circ },$
所以$∠CAQ+∠BAQ=90^{\circ },$
所以$∠MCA+∠BAQ=90^{\circ }$,即$∠BAQ=90^{\circ }-∠MCA.$
又因为$∠PAB+∠BAQ=180^{\circ },$
所以$∠PAB=180^{\circ }-∠BAQ=180^{\circ }-(90^{\circ }-∠MCA)=180^{\circ }-90^{\circ }+∠MCA=90^{\circ }+∠MCA.$