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例1 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次.
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手
（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数.
即时测评
参加足球联赛的球队，每两支队伍之间都进行两场比赛，共要比赛90场.问：共有多少支球队参加比赛？
归纳总结
球赛问题中的总场次规律
| 问题 | 特点 | 总比赛场次 |
| --- | --- | --- |
| 单循环 | n支球队每两队之间比赛
| $\frac{n(n-1)}{2}$ |
| 双循环 | n支球队每两队之间比赛两场 | $n(n-1)$ |
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手
3
次；若参加聚会的人数为6，则共握手15
次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手
$\frac{1}{2}n(n-1)$
次；（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数.
即时测评
参加足球联赛的球队，每两支队伍之间都进行两场比赛，共要比赛90场.问：共有多少支球队参加比赛？
归纳总结
球赛问题中的总场次规律
| 问题 | 特点 | 总比赛场次 |
| --- | --- | --- |
| 单循环 | n支球队每两队之间比赛
| $\frac{n(n-1)}{2}$ || 双循环 | n支球队每两队之间比赛两场 | $n(n-1)$ |
答案
(1)3 15
(2)$\frac{1}{2}n(n-1)$
(3)设有x人参加聚会. 根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$(不符合题意，舍去).
答：参加聚会的有10人.
即时测评答案：10支
(2)$\frac{1}{2}n(n-1)$
(3)设有x人参加聚会. 根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$(不符合题意，舍去).
答：参加聚会的有10人.
即时测评答案：10支
解析
【分析】
本题是握手、球赛类的计数应用题，核心是区分单循环和双循环两类场景：①单循环场景（如握手、每两队仅赛1场）：每个人/队会和其余(n-1)个对象互动，每两个对象的互动会被重复计算2次，因此总次数需要除以2，对应公式为$\frac{n(n-1)}{2}$；②双循环场景（如每两队主客场各赛1场）：每两个对象的2次互动不需要去重，对应公式为$n(n-1)$。解题时先判断场景选对公式，求具体次数直接代入计算，求参与对象数量时列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
（1）参加聚会人数为3时，代入单循环公式得总握手次数：$\frac{3×(3-1)}{2}=3$；
参加聚会人数为6时，代入单循环公式得总握手次数：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$。
（2）参加聚会人数为n（n为正整数）时，根据单循环计数逻辑，总握手次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$。
（3）设参加聚会的人数为x，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 -x -90=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负，舍去$x_2$，因此参加聚会的人数为10人。
即时测评：每两队之间赛两场属于双循环场景，设共有x支球队参赛，根据题意列方程：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2 -x -90=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合实际，舍去），因此共有10支球队参赛。
【答案】
(1) 3；15
(2) $\frac{1}{2}n(n-1)$
(3) 参加聚会的有10人；即时测评：共有10支球队参加比赛。
【知识点】
单循环计数、双循环计数、一元二次方程的应用
【点评】
这类问题是一元二次方程应用的典型题型，解题的关键是先准确判断场景类型，选对对应的计数公式，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合的根，掌握规律后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是握手、球赛类的计数应用题，核心是区分单循环和双循环两类场景：①单循环场景（如握手、每两队仅赛1场）：每个人/队会和其余(n-1)个对象互动，每两个对象的互动会被重复计算2次，因此总次数需要除以2，对应公式为$\frac{n(n-1)}{2}$；②双循环场景（如每两队主客场各赛1场）：每两个对象的2次互动不需要去重，对应公式为$n(n-1)$。解题时先判断场景选对公式，求具体次数直接代入计算，求参与对象数量时列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
（1）参加聚会人数为3时，代入单循环公式得总握手次数：$\frac{3×(3-1)}{2}=3$；
参加聚会人数为6时，代入单循环公式得总握手次数：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$。
（2）参加聚会人数为n（n为正整数）时，根据单循环计数逻辑，总握手次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$。
（3）设参加聚会的人数为x，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2 -x -90=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负，舍去$x_2$，因此参加聚会的人数为10人。
即时测评：每两队之间赛两场属于双循环场景，设共有x支球队参赛，根据题意列方程：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2 -x -90=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合实际，舍去），因此共有10支球队参赛。
【答案】
(1) 3；15
(2) $\frac{1}{2}n(n-1)$
(3) 参加聚会的有10人；即时测评：共有10支球队参加比赛。
【知识点】
单循环计数、双循环计数、一元二次方程的应用
【点评】
这类问题是一元二次方程应用的典型题型，解题的关键是先准确判断场景类型，选对对应的计数公式，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合的根，掌握规律后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
例2 某花店购进一批鲜花，进价为每束50元. 根据市场调研，当售价为每束80元时，每天可售出30束. 为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束.
(1)若店主希望每天的利润能达到1 000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？
(2)店主定了“每天的利润达到1 200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求达成时的售价；若不能达成，请说明理由.
即时测评
(1)若店主希望每天的利润能达到1 000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？
(2)店主定了“每天的利润达到1 200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求达成时的售价；若不能达成，请说明理由.
即时测评
答案
(1)设每束鲜花的售价下降x元.
根据题意，得$(80-50-x)(30+2x)=1000$，
解得$x_1=10$，$x_2=5$.
∵店主希望尽量减少库存，
∴x应取10.
答：每束鲜花应降价10元.
(2)不能. 理由如下：
设每束鲜花的售价下降m元. 根据题意，
得$(80-50-m)(30+2m)=1200$.
整理，得$m^2-15m+150=0$.
∵$(-15)^2-4×1×150=-375＜0$，
∴方程无解.
∴不能达成这个“小目标”.
根据题意，得$(80-50-x)(30+2x)=1000$，
解得$x_1=10$，$x_2=5$.
∵店主希望尽量减少库存，
∴x应取10.
答：每束鲜花应降价10元.
(2)不能. 理由如下：
设每束鲜花的售价下降m元. 根据题意，
得$(80-50-m)(30+2m)=1200$.
整理，得$m^2-15m+150=0$.
∵$(-15)^2-4×1×150=-375＜0$，
∴方程无解.
∴不能达成这个“小目标”.
解析
【分析】
本题属于销售类一元二次方程实际应用题，解题核心是利用总利润的等量关系：总利润=单件利润×销售总量。
(1) 先设每束鲜花降价x元，分别表示出降价后的单件利润和销量：单件利润为原售价减进价再减去降价金额，即(80-50-x)元；销量为基础销量加上降价增加的销量，即(30+2x)束。结合总利润为1000元的条件列方程求解，得到两个解后，结合“尽量减少库存”的要求，需选择降价幅度更大、销量更高的解即可。
(2) 判断1200元利润目标能否达成时，同样先设降价m元，按上述等量关系列总利润为1200元的方程，整理为一元二次方程一般形式后，计算根的判别式Δ，若Δ＜0则方程无实根，说明目标无法达成。
【解析】
(1) 设每束鲜花的售价下降x元。
根据题意列方程：$(80-50-x)(30+2x)=1000$
解得$x_1=10$，$x_2=5$
∵店主希望尽量减少库存，降价越多销量越高
∴x应取10
答：每束鲜花应降价10元。
(2) 不能达成，理由如下：
设每束鲜花的售价下降m元。
根据题意列方程：$(80-50-m)(30+2m)=1200$
整理得：$m^2-15m+150=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-15)^2-4×1×150=-375＜0$
∴该方程无实数根
∴不能达成这个“小目标”。
【答案】
(1) 每束鲜花应降价10元；
(2) 不能达成这个“小目标”，理由见解析。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程应用
3. 根的判别式应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了一元二次方程的列式与求解能力，也要求学生结合实际需求对解进行合理取舍，同时需要掌握用根的判别式判断实际问题的可行性，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于销售类一元二次方程实际应用题，解题核心是利用总利润的等量关系：总利润=单件利润×销售总量。
(1) 先设每束鲜花降价x元，分别表示出降价后的单件利润和销量：单件利润为原售价减进价再减去降价金额，即(80-50-x)元；销量为基础销量加上降价增加的销量，即(30+2x)束。结合总利润为1000元的条件列方程求解，得到两个解后，结合“尽量减少库存”的要求，需选择降价幅度更大、销量更高的解即可。
(2) 判断1200元利润目标能否达成时，同样先设降价m元，按上述等量关系列总利润为1200元的方程，整理为一元二次方程一般形式后，计算根的判别式Δ，若Δ＜0则方程无实根，说明目标无法达成。
【解析】
(1) 设每束鲜花的售价下降x元。
根据题意列方程：$(80-50-x)(30+2x)=1000$
解得$x_1=10$，$x_2=5$
∵店主希望尽量减少库存，降价越多销量越高
∴x应取10
答：每束鲜花应降价10元。
(2) 不能达成，理由如下：
设每束鲜花的售价下降m元。
根据题意列方程：$(80-50-m)(30+2m)=1200$
整理得：$m^2-15m+150=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-15)^2-4×1×150=-375＜0$
∴该方程无实数根
∴不能达成这个“小目标”。
【答案】
(1) 每束鲜花应降价10元；
(2) 不能达成这个“小目标”，理由见解析。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程应用
3. 根的判别式应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了一元二次方程的列式与求解能力，也要求学生结合实际需求对解进行合理取舍，同时需要掌握用根的判别式判断实际问题的可行性，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
某商店进了一批皮鞋，进货价为每双150元，若按照每双200元出售，则可销售200双；若每双皮鞋提价5元出售，则其销售量就减少10双.现在预计要获得11 200元利润，应按每双皮鞋多少元出售？这时应该进多少双皮鞋？
答案
按每双皮鞋220元出售时，应购进160双皮鞋；
按每双皮鞋230元出售时，应购进140双皮鞋.
按每双皮鞋230元出售时，应购进140双皮鞋.
解析
【分析】
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这一等量关系。我们可以先设每双皮鞋的售价为x元，先表示出每双皮鞋的利润，再根据“每提价5元销量减少10双”的规律，用含x的式子表示出实际销售量，代入等量关系列出一元二次方程求解，最后根据求得的售价计算对应的进货量即可。
【解析】
设每双皮鞋的售价为$ x $元，
1. 表示单件利润：每双皮鞋的利润为$ (x-150) $元；
2. 表示销售量：原售价200元时销量为200双，售价提升了$ (x-200) $元，每提5元销量减少10双，则减少的销量为$ \frac{x-200}{5} × 10 = 2(x-200) $双，因此实际销售量为$ 200 - 2(x-200) = 600 - 2x $双；
3. 列方程：根据总利润为11200元，可得：
$ (x-150)(600-2x) = 11200 $
4. 解方程：
展开整理得：$ x^2 - 450x + 50600 = 0 $
计算判别式$ \Delta = 450^2 - 4 × 1 × 50600 = 100 $
解得：$ x_1 = \frac{450 + 10}{2} = 230 $，$ x_2 = \frac{450 - 10}{2} = 220 $
5. 计算对应进货量：
当售价$ x=220 $元时，进货量=销售量$ =600 - 2 × 220 = 160 $双；
当售价$ x=230 $元时，进货量=销售量$ =600 - 2 × 230 = 140 $双。
【答案】
按每双皮鞋220元出售时，应购进160双皮鞋；按每双皮鞋230元出售时，应购进140双皮鞋。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题，列方程解应用题
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确用未知数表示出单件利润和销售量，求解后注意检验解是否符合实际意义，本题两个解均符合销售实际，因此都需要保留。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这一等量关系。我们可以先设每双皮鞋的售价为x元，先表示出每双皮鞋的利润，再根据“每提价5元销量减少10双”的规律，用含x的式子表示出实际销售量，代入等量关系列出一元二次方程求解，最后根据求得的售价计算对应的进货量即可。
【解析】
设每双皮鞋的售价为$ x $元，
1. 表示单件利润：每双皮鞋的利润为$ (x-150) $元；
2. 表示销售量：原售价200元时销量为200双，售价提升了$ (x-200) $元，每提5元销量减少10双，则减少的销量为$ \frac{x-200}{5} × 10 = 2(x-200) $双，因此实际销售量为$ 200 - 2(x-200) = 600 - 2x $双；
3. 列方程：根据总利润为11200元，可得：
$ (x-150)(600-2x) = 11200 $
4. 解方程：
展开整理得：$ x^2 - 450x + 50600 = 0 $
计算判别式$ \Delta = 450^2 - 4 × 1 × 50600 = 100 $
解得：$ x_1 = \frac{450 + 10}{2} = 230 $，$ x_2 = \frac{450 - 10}{2} = 220 $
5. 计算对应进货量：
当售价$ x=220 $元时，进货量=销售量$ =600 - 2 × 220 = 160 $双；
当售价$ x=230 $元时，进货量=销售量$ =600 - 2 × 230 = 140 $双。
【答案】
按每双皮鞋220元出售时，应购进160双皮鞋；按每双皮鞋230元出售时，应购进140双皮鞋。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题，列方程解应用题
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确用未知数表示出单件利润和销售量，求解后注意检验解是否符合实际意义，本题两个解均符合销售实际，因此都需要保留。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系.
实际问题与一元二次方程
球赛(握手)问题
单循环比赛的总场次：
双循环比赛的总场次：$n(n-1)$
销售中的利润问题
中各量之间的关系:
(1) 利润=
(2) 利润率=
(3) 打折率=
(4) 总利润=
实际问题与一元二次方程
球赛(握手)问题
单循环比赛的总场次：
$\frac{n(n-1)}{2}$
；双循环比赛的总场次：$n(n-1)$
销售中的利润问题
中各量之间的关系:(1) 利润=
售价
- 进价；(2) 利润率=
利润
÷ 进价；(3) 打折率=
售价
÷ 标价；(4) 总利润=
单件利润
× 销售量答案
单循环比赛的总场次：$\frac{n(n-1)}{2}$
(1) 利润=售价 - 进价；
(2) 利润率=利润 ÷ 进价；
(3) 打折率=售价 ÷ 标价；
(4) 总利润=单件利润 × 销售量
(1) 利润=售价 - 进价；
(2) 利润率=利润 ÷ 进价；
(3) 打折率=售价 ÷ 标价；
(4) 总利润=单件利润 × 销售量
解析
【分析】
本题考查一元二次方程实际应用的两类基础模型的公式记忆：
1. 球赛（握手）问题：单循环是每两个主体仅互动1次，n个主体中每个主体会和其余(n-1)个各互动1次，总互动次数会被重复计算2次，因此要除以2得到实际总场次；
2. 销售利润问题：对应公式均为销售问题的基础等量关系，结合生活常识和基础定义即可推导填写。
【解析】
1. 单循环比赛总场次：n个参赛队，每队比赛(n-1)场，每场比赛被2个队各计算1次，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$；
2. 销售问题公式推导：
(1) 利润是卖出商品得到的钱减去成本，即$\mathrm{利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}$，故填售价；
(2) 利润率是利润占进价的比例，即$\mathrm{利润率}=\mathrm{利润}÷\mathrm{进价}$，故填利润；
(3) 打折率是实际售价占原标价的比例，即$\mathrm{打折率}=\mathrm{售价}÷\mathrm{标价}$，故填售价；
(4) 总利润是所有商品的利润总和，等于单件商品的利润乘以总销量，即$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润}×\mathrm{销售量}$，故填单件利润。
【答案】
单循环比赛的总场次：$\frac{n(n-1)}{2}$；
(1) 售价；
(2) 利润；
(3) 售价；
(4) 单件利润
【知识点】
1. 比赛场次计算
2. 销售利润公式
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查两类常见的一元二次方程实际应用场景的基础等量关系，这些公式是后续列方程求解相关应用题的核心基础，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程实际应用的两类基础模型的公式记忆：
1. 球赛（握手）问题：单循环是每两个主体仅互动1次，n个主体中每个主体会和其余(n-1)个各互动1次，总互动次数会被重复计算2次，因此要除以2得到实际总场次；
2. 销售利润问题：对应公式均为销售问题的基础等量关系，结合生活常识和基础定义即可推导填写。
【解析】
1. 单循环比赛总场次：n个参赛队，每队比赛(n-1)场，每场比赛被2个队各计算1次，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$；
2. 销售问题公式推导：
(1) 利润是卖出商品得到的钱减去成本，即$\mathrm{利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}$，故填售价；
(2) 利润率是利润占进价的比例，即$\mathrm{利润率}=\mathrm{利润}÷\mathrm{进价}$，故填利润；
(3) 打折率是实际售价占原标价的比例，即$\mathrm{打折率}=\mathrm{售价}÷\mathrm{标价}$，故填售价；
(4) 总利润是所有商品的利润总和，等于单件商品的利润乘以总销量，即$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润}×\mathrm{销售量}$，故填单件利润。
【答案】
单循环比赛的总场次：$\frac{n(n-1)}{2}$；
(1) 售价；
(2) 利润；
(3) 售价；
(4) 单件利润
【知识点】
1. 比赛场次计算
2. 销售利润公式
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查两类常见的一元二次方程实际应用场景的基础等量关系，这些公式是后续列方程求解相关应用题的核心基础，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.8
