知识点 直接开平方解一元二次方程
1. 定义: 利用来直接开平方求一元二次方程的解的方法,叫作直接开平方.
一般地,对于方程$x^2 = p$,
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根.
(2)当$p=0$时,方程有两个相等的实数根.
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程.
如果方程能化为$x^2 = p(p ≥ 0)$或$(mx + n)^2 = p(m ≠ 0,p ≥ 0)$的形式,那么可得$x = \pm\sqrt{p}$或$mx + n = \pm\sqrt{p}$.
2. 用直接开平方解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项,将方程变为左边是完全平方式,右边是非负数的形式.
(2)开平方,将方程化为两个一元一次方程.
(3)解这两个一元一次方程,则得出的两个解即为一元二次方程的两个根.
重点提示
(1)采用直接开平方解一元二次方程的理论依据是平方根的意义,直接开平方只适用于部分一元二次方程,它适用的方程是能转化为$x^2 = p(p ≥ 0)$或$(mx + n)^2 = p(m ≠ 0,p ≥ 0)$的方程.
(2)利用直接开平方解一元二次方程时,只有当$p$为非负数时,方程才有实数解,并且要注意开平方的结果取正、负两种情况.

1. 定义: 利用平方根的意义来直接开平方求一元二次方程的解的方法,叫作直接开平方.
一般地,对于方程$x^2 = p$,
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$.
(2)当$p=0$时,方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$.
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程无实数根.

【分析】
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的基础定义与根的分布规律。解题时首先明确直接开平方的理论依据是平方根的意义，再结合平方根的性质分情况讨论方程$x^2=p$的根：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数在实数范围内没有平方根，对应即可得到不同$p$取值下方程的根的情况。
【解析】
1. 直接开平方的核心是借助平方根的定义求解，因此定义的第一个空填“平方根的意义”；
(1) 当$p＞0$时，正数$p$有两个互为相反数的平方根，因此方程$x^2=p$的两个不相等实数根为$x_1=\sqrt{p}$、$x_2=-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，0的平方根为0，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
(3) 当$p＜0$时，任意实数的平方都是非负数，不存在实数$x$使得$x^2＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
1. 定义: 利用平方根的意义来直接开平方求一元二次方程的解的方法,叫作直接开平方.
一般地,对于方程$x^2 = p$,
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$.
(2)当$p=0$时,方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$.
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程无实数根.
【知识点】
平方根的意义，直接开平方法，一元二次方程根的判定
【点评】
本题是直接开平方法的基础概念题，侧重考查方法原理和不同情形下方程根的规律，是运用直接开平方法解方程的必备基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

例 用直接开平方解下列一元二次方程：
(1)$(x-2)^2=3$；
(2)$2(x-3)^2=72$；
(3)$9(y+4)^2-49=0$。
解:(1)$\because \quad x-2=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore \quad x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$。
(2)$\because \quad (x-3)^2=36$，
$\therefore \quad x-3=\pm6$。
$\therefore \quad x_1=-3,x_2=9$。
(3)$\because \quad 9(y+4)^2=49$，
$\therefore \quad (y+4)^2=\dfrac{49}{9}$。
$\therefore \quad y+4=\pm\dfrac{7}{3}$。
$\therefore \quad y_1=-\dfrac{5}{3},y_2=-\dfrac{19}{3}$。
方法点拨 本题考查用直接开平方解一元二次方程,解这类题要通过移项,把方程转化为$x^2=p(p≥0)$或$(mx+n)^2=p(m≠0,p≥0)$的形式,再利用直接开平方求解。

解：
(1) $\because x-2=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},\ x_2=2-\sqrt{3}$。
(2) 方程两边同时除以2，得$(x-3)^2=36$，
$\therefore x-3=\pm6$，
$\therefore x_1=9,\ x_2=-3$。
(3) 移项，得$9(y+4)^2=49$，
方程两边同时除以9，得$(y+4)^2=\frac{49}{9}$，
$\therefore y+4=\pm\frac{7}{3}$，
$\therefore y_1=-\frac{5}{3},\ y_2=-\frac{19}{3}$。

【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是先将方程变形为$(mx+n)^2=p$（$m≠0$，$p≥0$）的标准形式，再通过两边开平方将二次方程降次为两个一元一次方程，进而求解得到原方程的根。
针对三个小题的具体思考路径：
(1) 方程已经是$(x-2)^2=3$的标准形式，右边$3≥0$，可直接开平方；
(2) 先把方程左边$(x-3)^2$的系数化为1，得到标准形式后再开平方；
(3) 先移项把含完全平方式的项留在左边，常数项移到右边，再将完全平方式的系数化为1得到标准形式，最后开平方求解。
【解析】
(1) $\because x-2=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},\ x_2=2-\sqrt{3}$。
(2) 方程两边同时除以2，得$(x-3)^2=36$，
$\therefore x-3=\pm6$，
$\therefore x_1=9,\ x_2=-3$。
(3) 移项，得$9(y+4)^2=49$，
方程两边同时除以9，得$(y+4)^2=\frac{49}{9}$，
$\therefore y+4=\pm\frac{7}{3}$，
$\therefore y_1=-\frac{5}{3},\ y_2=-\frac{19}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；
(2) $x_1=9,x_2=-3$；
(3) $y_1=-\dfrac{5}{3},y_2=-\dfrac{19}{3}$。
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程求解，等式的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础典型题，解题关键是熟练掌握将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时注意不要漏写负根，计算过程中注意移项、系数化为1时的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.85