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解方程:$(x-2)^2=(3-2x)^2$.
小兵的第一步是两边开平方,得$x-2=3-2x$. 他这样做正确吗?请谈谈你的看法,并和同学交流,看他们的看法和你的是否一致.
小兵的第一步是两边开平方,得$x-2=3-2x$. 他这样做正确吗?请谈谈你的看法,并和同学交流,看他们的看法和你的是否一致.
答案
他这样做是不正确的.
若$x^2=y^2$,则$x=\pm y$.
对于$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方应得到$x-2=\pm(3-2x)$,而不是$x-2=3-2x$.
正确的解法为:$x-2=3-2x$ 或 $x-2=-(3-2x)$,解得$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=1$.
若$x^2=y^2$,则$x=\pm y$.
对于$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方应得到$x-2=\pm(3-2x)$,而不是$x-2=3-2x$.
正确的解法为:$x-2=3-2x$ 或 $x-2=-(3-2x)$,解得$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=1$.
解析
【分析】
要判断小兵的做法是否正确，首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根。当两个数的平方相等时，这两个数要么相等，要么互为相反数，不能只取算术平方根的情况。小兵只考虑了两个底数相等的情况，漏掉了互为相反数的情况，会导致丢根。解题时先明确平方相等的两个数的关系，再分两种情况求解方程即可。
【解析】
小兵的做法不正确，理由如下：
根据平方根的性质，若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$，因此对$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方，应得到两种情况：
情况1：$x-2 = 3-2x$
移项合并同类项得：$3x = 5$
解得：$x = \dfrac{5}{3}$
情况2：$x-2 = -(3-2x)$
去括号得：$x-2 = -3 + 2x$
移项合并同类项得：$-x = -1$
解得：$x = 1$
小兵仅考虑了第一种情况，漏掉了第二种情况，会丢失一个根，因此做法错误。
【答案】
他这样做是不正确的。若$x^2=y^2$，则$x=\pm y$。对于$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方应得到$x-2=\pm(3-2x)$，而不是$x-2=3-2x$。正确的解法为:$x-2=3-2x$ 或 $x-2=-(3-2x)$，解得$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法解方程；平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的易错点，解题时需注意平方相等的两个数存在相等或互为相反数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断小兵的做法是否正确，首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根。当两个数的平方相等时，这两个数要么相等，要么互为相反数，不能只取算术平方根的情况。小兵只考虑了两个底数相等的情况，漏掉了互为相反数的情况，会导致丢根。解题时先明确平方相等的两个数的关系，再分两种情况求解方程即可。
【解析】
小兵的做法不正确，理由如下：
根据平方根的性质，若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$，因此对$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方，应得到两种情况：
情况1：$x-2 = 3-2x$
移项合并同类项得：$3x = 5$
解得：$x = \dfrac{5}{3}$
情况2：$x-2 = -(3-2x)$
去括号得：$x-2 = -3 + 2x$
移项合并同类项得：$-x = -1$
解得：$x = 1$
小兵仅考虑了第一种情况，漏掉了第二种情况，会丢失一个根，因此做法错误。
【答案】
他这样做是不正确的。若$x^2=y^2$，则$x=\pm y$。对于$(x-2)^2=(3-2x)^2$两边开平方应得到$x-2=\pm(3-2x)$，而不是$x-2=3-2x$。正确的解法为:$x-2=3-2x$ 或 $x-2=-(3-2x)$，解得$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=1$。
【知识点】
直接开平方法解方程；平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的易错点，解题时需注意平方相等的两个数存在相等或互为相反数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2=16$的根是 （
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=0$
D.$x_1=4,x_2=-4$
D
）A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=0$
D.$x_1=4,x_2=-4$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察方程形式，本题方程左侧为未知数的平方，右侧为正数16，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方时要注意不要遗漏负根，求出两个根后对应选项即可选出正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2=16$使用直接开平方法求解，
两边同时开平方可得：$x=\pm\sqrt{16}$，
计算得$\sqrt{16}=4$，因此$x=\pm4$，即方程的根为$x_1=4,x_2=-4$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程的根、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题核心是注意正数开平方存在两个互为相反数的根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察方程形式，本题方程左侧为未知数的平方，右侧为正数16，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方时要注意不要遗漏负根，求出两个根后对应选项即可选出正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2=16$使用直接开平方法求解，
两边同时开平方可得：$x=\pm\sqrt{16}$，
计算得$\sqrt{16}=4$，因此$x=\pm4$，即方程的根为$x_1=4,x_2=-4$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程的根、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题核心是注意正数开平方存在两个互为相反数的根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$25x^2 -1=0$的根是 （
A.$x_1=x_2=5$
B.$x_1=5,x_2=-5$
C.$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{5}$
D.$x_1=x_2=\frac{1}{5}$
C
）A.$x_1=x_2=5$
B.$x_1=5,x_2=-5$
C.$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{5}$
D.$x_1=x_2=\frac{1}{5}$
答案
C
解析
【分析】
这道题适用直接开平方法求解，解题思路清晰：首先观察方程特征，该方程不含一次项，符合直接开平方法的适用条件；第一步先把常数项移到等号右侧，第二步将$x^2$的系数化为1，第三步对$x^2$开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，求出根后匹配选项即可。
【解析】
解：求解一元二次方程$25x^2 -1=0$，步骤如下：
1. 移项，得：$25x^2 = 1$
2. 系数化为1，两边同时除以25，得：$x^2 = \frac{1}{25}$
3. 开平方，得：$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$
即方程的根为$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方会得到两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
这道题适用直接开平方法求解，解题思路清晰：首先观察方程特征，该方程不含一次项，符合直接开平方法的适用条件；第一步先把常数项移到等号右侧，第二步将$x^2$的系数化为1，第三步对$x^2$开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，求出根后匹配选项即可。
【解析】
解：求解一元二次方程$25x^2 -1=0$，步骤如下：
1. 移项，得：$25x^2 = 1$
2. 系数化为1，两边同时除以25，得：$x^2 = \frac{1}{25}$
3. 开平方，得：$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$
即方程的根为$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方会得到两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3. 用直接开平方解下列方程：
(1) $9x^2=25$；
(2) $3x^2 -1=26$；
(3) $49x^2 -7=1$；
(4) $(2x)^2=0.64$。
(1) $9x^2=25$；
(2) $3x^2 -1=26$；
(3) $49x^2 -7=1$；
(4) $(2x)^2=0.64$。
答案
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$
(2)$x_1=3,x_2=-3$
(3)$x_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{7},x_2=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$
(4)$x_1=0.4,x_2=-0.4$
(2)$x_1=3,x_2=-3$
(3)$x_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{7},x_2=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$
(4)$x_1=0.4,x_2=-0.4$
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，进而求出方程的两个根。解题步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后开平方求解，注意开平方后要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 对于方程$9x^2=25$，系数化为1得$x^2=\dfrac{25}{9}$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\pm\dfrac{5}{3}$；
(2) 对于方程$3x^2 -1=26$，移项得$3x^2=27$，系数化为1得$x^2=9$，两边开平方得$x=\pm3$；
(3) 对于方程$49x^2 -7=1$，移项得$49x^2=8$，系数化为1得$x^2=\dfrac{8}{49}$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{49}}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$；
(4) 对于方程$(2x)^2=0.64$，两边开平方得$2x=\pm0.8$，系数化为1得$x=\pm0.4$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$
(2)$x_1=3,x_2=-3$
(3)$x_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{7},x_2=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$
(4)$x_1=0.4,x_2=-0.4$
【知识点】
直接开平方法、平方根运算、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，重点考查直接开平方法的解题步骤掌握情况，解题时需注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏写负根，同时计算平方根时要注意化简规范。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，进而求出方程的两个根。解题步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后开平方求解，注意开平方后要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
(1) 对于方程$9x^2=25$，系数化为1得$x^2=\dfrac{25}{9}$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\pm\dfrac{5}{3}$；
(2) 对于方程$3x^2 -1=26$，移项得$3x^2=27$，系数化为1得$x^2=9$，两边开平方得$x=\pm3$；
(3) 对于方程$49x^2 -7=1$，移项得$49x^2=8$，系数化为1得$x^2=\dfrac{8}{49}$，两边开平方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{49}}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$；
(4) 对于方程$(2x)^2=0.64$，两边开平方得$2x=\pm0.8$，系数化为1得$x=\pm0.4$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$
(2)$x_1=3,x_2=-3$
(3)$x_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{7},x_2=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}$
(4)$x_1=0.4,x_2=-0.4$
【知识点】
直接开平方法、平方根运算、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，重点考查直接开平方法的解题步骤掌握情况，解题时需注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏写负根，同时计算平方根时要注意化简规范。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程$(x+4)^2=9$可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为$x+4=3$，则另一个一元一次方程为（
A.$x-4=3$
B.$x+4=-9$
C.$x+4=9$
D.$x+4=-3$
D
）A.$x-4=3$
B.$x+4=-9$
C.$x+4=9$
D.$x+4=-3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是依据平方根的性质思考：正数有两个互为相反数的平方根。对于形如$a^2 = b(b≥0)$的方程，开平方后可得$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$两个结果，本题中$a=x+4$，$b=9$，已知其中一个结果为$x+4=3$，只需推导另一个结果即可。
【解析】
根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数。
对于方程$(x+4)^2=9$，将方程两边同时开平方可得：
$x+4 = \pm\sqrt{9}$，即$x+4=3$或$x+4=-3$
因此另一个一元一次方程为$x+4=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是明确正数开平方有正负两个结果，避免遗漏负根情况，掌握原理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是依据平方根的性质思考：正数有两个互为相反数的平方根。对于形如$a^2 = b(b≥0)$的方程，开平方后可得$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$两个结果，本题中$a=x+4$，$b=9$，已知其中一个结果为$x+4=3$，只需推导另一个结果即可。
【解析】
根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数。
对于方程$(x+4)^2=9$，将方程两边同时开平方可得：
$x+4 = \pm\sqrt{9}$，即$x+4=3$或$x+4=-3$
因此另一个一元一次方程为$x+4=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是明确正数开平方有正负两个结果，避免遗漏负根情况，掌握原理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 用直接开平方解一元二次方程$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$的步骤如下：
①$(x-1)^2=36$,②$x-1=6$,③$x=7$.
其中开始出现错误的步骤是
应该修改为
①$(x-1)^2=36$,②$x-1=6$,③$x=7$.
其中开始出现错误的步骤是
②
.(填序号)应该修改为
$x-1=\pm6$
.答案
② $x-1=\pm6$
解析
【分析】
解题时先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：对于形如$u^2=a$（$a≥0$）的方程，开平方后$u$应为$\pm\sqrt{a}$，因为正数的平方根有两个，互为相反数。先验证每一步的正确性：第一步将方程两边同时乘4，把平方项的系数化为1，得到$(x-1)^2=36$，运算正确；第二步对等式两边开平方时，原步骤仅保留了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此错误出在第②步，需补充负的情况。
【解析】
我们逐步验证解题步骤：
1. 验证步骤①：原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘4，可得$(x-1)^2=9×4=36$，步骤①运算正确。
2. 验证步骤②：根据直接开平方法的运算规则，若$u^2=a$（$a≥0$），则$u=\pm\sqrt{a}$。此处$u=x-1$，$a=36≥0$，因此开平方后应为$x-1=\pm\sqrt{36}=\pm6$，原步骤②仅写$x-1=6$，遗漏了负的平方根，因此步骤②错误，应修改为$x-1=\pm6$。
【答案】
②；$x-1=\pm6$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础易错题，核心考查开平方运算的规则，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免因漏写负根导致错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：对于形如$u^2=a$（$a≥0$）的方程，开平方后$u$应为$\pm\sqrt{a}$，因为正数的平方根有两个，互为相反数。先验证每一步的正确性：第一步将方程两边同时乘4，把平方项的系数化为1，得到$(x-1)^2=36$，运算正确；第二步对等式两边开平方时，原步骤仅保留了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此错误出在第②步，需补充负的情况。
【解析】
我们逐步验证解题步骤：
1. 验证步骤①：原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘4，可得$(x-1)^2=9×4=36$，步骤①运算正确。
2. 验证步骤②：根据直接开平方法的运算规则，若$u^2=a$（$a≥0$），则$u=\pm\sqrt{a}$。此处$u=x-1$，$a=36≥0$，因此开平方后应为$x-1=\pm\sqrt{36}=\pm6$，原步骤②仅写$x-1=6$，遗漏了负的平方根，因此步骤②错误，应修改为$x-1=\pm6$。
【答案】
②；$x-1=\pm6$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础易错题，核心考查开平方运算的规则，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免因漏写负根导致错误。
【难度系数】
0.8
