6. 解下列方程：
(1) $(x-2)^2 -4=0$；
(2) $2(x+3)^2 -10=0$；
(3) $(2x-1)^2=\frac{1}{36}$。

(1)$x_1=4,x_2=0$
(2)$x_1=-3+\sqrt{5},x_2=-3-\sqrt{5}$
(3)$x_1=\dfrac{7}{12},x_2=\dfrac{5}{12}$

【分析】
这三道题均为可使用直接开平方法求解的一元二次方程。解题思路如下：首先将方程变形为「完全平方式=非负常数」的标准形式，再根据平方根的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的两个根，开平方时要注意同时考虑正、负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 移项得：$(x-2)^2=4$，
两边开平方得：$x-2=\pm2$，
即$x-2=2$或$x-2=-2$，
分别解得：$x_1=4$，$x_2=0$。
(2) 移项得：$2(x+3)^2=10$，
两边同时除以2得：$(x+3)^2=5$，
两边开平方得：$x+3=\pm\sqrt{5}$，
即$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$，
分别解得：$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 两边直接开平方得：$2x-1=\pm\frac{1}{6}$，
即$2x-1=\frac{1}{6}$或$2x-1=-\frac{1}{6}$，
当$2x-1=\frac{1}{6}$时，$2x=\frac{7}{6}$，解得$x=\frac{7}{12}$；
当$2x-1=-\frac{1}{6}$时，$2x=\frac{5}{6}$，解得$x=\frac{5}{12}$；
即$x_1=\frac{7}{12}$，$x_2=\frac{5}{12}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；(2)$x_1=-3+\sqrt{5},x_2=-3-\sqrt{5}$；(3)$x_1=\dfrac{7}{12},x_2=\dfrac{5}{12}$
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程整理为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时注意不要漏掉负根，计算难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

7.已知某三角形的两边长分别是5和6,第三边长是方程$(x-3)^2=4$的根,则此三角形的周长为
（）

A.18
B.12
C.16
D.12或16

C

【分析】
要计算三角形的周长，首先需要确定第三边的长度。已知第三边是给定方程的根，因此第一步先使用直接开平方法解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；接下来根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两个根进行验证，舍去不能构成三角形的取值；最后将符合条件的三边长度相加得到周长即可。
【解析】
1. 解方程$(x-3)^2=4$
直接开平方可得：$x-3=\pm2$
移项计算得两个根：$x_1=3+2=5$，$x_2=3-2=1$
2. 结合三角形三边关系验证根的合理性
已知三角形两边长为5和6：
若第三边长为1，此时三边长为1、5、6，由于$1+5=6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故舍去该取值；
若第三边长为5，此时三边长为5、5、6，满足$5+5＞6$、$5+6＞5$，可以构成三角形。
3. 计算三角形周长
周长为$5+5+6=16$
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的解法与三角形的性质结合考查，易错点是解题时忽略对三角形三边关系的验证，直接代入两个根计算周长误选D，做题时要注意解出第三边的可能值后先验证是否能构成三角形。
【难度系数】
0.7

8. 若$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$，则$x^2 + y^2$的值是。

7

【分析】
观察方程结构，左边是含$x^2+y^2$的式子的平方，右边是正常数，符合直接开平方法的适用形式。解题时可先将$x^2+y^2$看作一个整体，通过直接开平方法求出这个整体的可能值，再结合$x^2$、$y^2$都是非负数的性质，排除不符合要求的负值，即可得到正确结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，
$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore t≥0$，
原方程可转化为：$(t-3)^2=16$，
直接开平方得：$t-3=\pm4$，
分两种情况计算：
1. 当$t-3=4$时，解得$t=7$，符合$t≥0$的要求；
2. 当$t-3=-4$时，解得$t=-1$，不符合$t≥0$的要求，舍去。
因此$x^2+y^2$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程；换元思想；非负数的性质
【点评】
本题考查直接开平方法的实际应用，解题的核心是运用整体思想简化运算，同时要注意结合代数式的取值范围对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

9. 对任意实数$a,b$,规定一种新运算“Δ”: $a\Delta b = a^2 - b^2$.
(1)求$4\Delta 3$.
(2)求$(x+2)\Delta 5=0$中$x$的值.
(3)已知一个直角三角形的两边长是方程$3\Delta (x-8)=0$的两根,求该直角三角形的第三边长.

(1)由题意,得$4\Delta 3=4^2-3^2=7$.
(2)由题意,得$(x+2)\Delta 5=(x+2)^2-5^2=0$,即$(x+2)^2=25$.
两边直接开平方,得$x+2=\pm5$.
解得$x_1=3,x_2=-7$.
(3)由题意,得$3\Delta(x-8)=3^2-(x-8)^2=9-(x-8)^2$.
解方程$9-(x-8)^2=0$,得$x_1=11,x_2=5$.
当11是该直角三角形的斜边长时,第三边长为$\sqrt{11^2-5^2}=4\sqrt{6}$;
当11是该直角三角形的直角边长时,第三边长为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}$.
综上所述,该直角三角形的第三边长为$4\sqrt{6}$或$\sqrt{146}$.

【分析】
本题围绕新定义运算考查相关计算与应用，解题核心是先明确新运算“Δ”的规则：$a\Delta b = a^2 - b^2$。（1）小问直接将对应数值代入新运算公式计算即可；（2）小问先按新运算规则把等式转化为关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解；（3）小问先根据新运算规则列方程，解出直角三角形的两条边长，再分“11为斜边长”“11为直角边长”两种情况，结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)根据新运算规则可得：
$4\Delta 3=4^2-3^2=16-9=7$
(2)根据新运算规则将等式转化为：
$(x+2)\Delta 5=(x+2)^2-5^2=0$
整理得$(x+2)^2=25$
两边直接开平方，得$x+2=\pm5$
解得$x_1=3,x_2=-7$
(3)根据新运算规则可得：
$3\Delta (x-8)=3^2-(x-8)^2=9-(x-8)^2$
解方程$9-(x-8)^2=0$，即$(x-8)^2=9$
开平方得$x-8=\pm3$，解得$x_1=11,x_2=5$，即直角三角形的两边长为5和11：
①当11为斜边长时，第三边长为$\sqrt{11^2-5^2}=\sqrt{121-25}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$；
②当11为直角边长时，第三边长为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{121+25}=\sqrt{146}$。
综上，该直角三角形的第三边长为$4\sqrt{6}$或$\sqrt{146}$。
【答案】
(1)$\boxed{7}$；(2)$\boxed{x_1=3,x_2=-7}$；(3)$\boxed{4\sqrt{6}}$或$\boxed{\sqrt{146}}$
【知识点】
新定义运算、直接开平方法解方程、勾股定理
【点评】
本题结合新定义运算，综合考查了一元二次方程的解法和勾股定理的应用，解题的关键是准确转化新运算为常规数学表达式，第三问需注意直角三角形边长未明确斜边时要分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.7

10. 课题探究
课题 “平均数法”解一元二次方程
示例
解方程:$x(x-4)=5$.
解:原方程可变形为
$[(x-2)+2][(x-2)-2]=5$.
由平方差公式,得$(x-2)^2 - 2^2 =5$.
整理,得$(x-2)^2=9$.
解得$x_1=5,x_2=-1$.
我们把这种解法叫作“平均数法”.
应用
下面是用“平均数法”解方程$(x+4)(x+6)=15$的过程.
解:原方程可变形为
$[(x+□)-◯][(x+□)+◯]=15$.
由平方差式,得$(x+□)^2 - ◯^2=15$.
移项,得$(x+□)^2=15+◯^2$.
解得$x_1=☆,x_2=△$.
(1)上述解题过程中,$□=$,$◯=$,$☆=$,$△=$;
(2)用“平均数法”解方程:
$(x+3)(x-1)=5$.

(1)5 1 -1 -9(最后两空可以交换顺序)
(2)原方程可变形为$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$.
由平方差公式,得$(x+1)^2-2^2=5$.
整理,得$(x+1)^2=9$.
解得$x_1=2,x_2=-4$.

【分析】
本题考查用新定义的“平均数法”解一元二次方程，解题思路如下：
1. 理解“平均数法”的核心：将两个含x的一次因式，以它们常数项的平均数为中间量，变形为“(a-b)(a+b)”的平方差结构，再用平方差公式化简，转化为直接开平方法可解的形式。
2. 解决第(1)问：先求(x+4)、(x+6)的常数项4和6的平均数，即可得到的值，再计算一次因式与中间式的差得到○，最后解方程即可得到☆和△的值。
3. 解决第(2)问：先求(x+3)、(x-1)的常数项3和-1的平均数，构造平方差结构，再按示例步骤解方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+4)(x+6)=15$：
两个一次因式的常数项为4和6，平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，因此$□=5$；
将原式变形为$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$，因此$○=1$；
代入得$(x+5)^2 -1^2=15$，整理得$(x+5)^2=16$，开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$，因此$☆=-1$，$△=-9$（最后两空可互换顺序）。
(2) 解方程$(x+3)(x-1)=5$：
原方程可变形为 $[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$，
由平方差公式，得$(x+1)^2 - 2^2 =5$，
整理，得$(x+1)^2=9$，
开平方得$x+1=\pm3$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$，$\boxed{1}$，$\boxed{-1}$，$\boxed{-9}$（最后两空可交换顺序）；
(2) $\boxed{x_1=2,x_2=-4}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 新定义迁移应用
【点评】
本题属于新定义运算类题型，通过“平均数法”的设定，引导学生自主构造平方差结构，将复杂的一元二次方程转化为可直接开平方的简单形式，既考查了对平方差公式的灵活运用，也考查了对新方法的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7